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Normes

Posté par
Nico86 10-02-06 à 17:50

Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice et j'ai beaucoup de mal à le résoudre. Voici l'énoncé :
Soient I=[0,1], h:I->I une application continue et ||.|| une norme sur E=C(I,\mathbb{R} ).
On définit N_h(f)=||foh|| pour tout f appartenant à E.
On note ||.||_1 la norme ||f||_1=\int_0^1|f(t)|dt.
1. A quelle condition sur h, N_h définit-elle une norme sur E ?
2. On suppose que h est de classe C^1 sur I, surjective, avec h'(t) > 0 pour tout t appartenant à I.
2.a) Montrer que l'on a \int_0^1|f(h(t))|h'(t)dt=||f||_1.
2.b) Montrer en utilisant (a) que les normes ||.||_1 et N_h sont équivalentes.
3) Sous les hypothèses de 2., l'application u de (E,N_h) dans \mathbb{R} définie par u(f)=\int_0^1f(t)dt est-elle continue ?

Pour la première question, en utilisant la définition d'une norme, je déduis qu'il faut que h soit surjective.
Pour la question 2.a, j'ai beau cherché, je ne vois pas comment faire.
Et pour la question 2.b, j'ai tenté de diviser une norme par l'autre pour voir si j'obtenais quelque chose mais je n'y arrive pas.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 18:04

Bonjour Nico86

pour la 2)a), un simple changement de variable permet de conclure (pose u=h(t))

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 18:19

Bonjour Kaiser,

Avant tout merci de ton aide une nouvelle fois
Pour le 2.a, effectivement je n'y avais pas pensé. Pour les bornes de l'intervalle, il suffit bien de dire que h'(t)>0 implique h(t) strictement croissante. Et comme l'espace d'arrivée de h est [0,1] et qu'elle est surjective, on a bien h(1)=1 et h(0)=0.
As-tu une idée pour la question 2.b?

Encore merci

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 18:26

Je t'en prie !

Sinon, ||.|| est bien une norme quelconque sur E ? ou alors y a-t-il un rapport ||.||_{1}.

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 18:28

||.|| est une norme quelconque sur E apparemment.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 18:37

Alors c'est un peu bizarre !
Prenons par exemple h(t)=t pour tout t. h vérifie bien les hypothèses et posons ||.||=||.||_{\infty}.
En se référant à l'énoncé, cela voudrait dire que ||.||_{1} et ||.||_{\infty} sont équivalentes ce qui est faux.
pire encore : l'énoncé impliquerait l'équivalence des normes sur E ce qui est, bien sûr, faux.

Mais bon, j'ai peut-être mal lu l'énoncé ce qui est toujours possible !
Si quelqu'un pouvait confirmer ou corriger ce que je dis !

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 18:45

J'ai bcp de mal avec ce genre d'exos mais peut-on dire que N_h(f) et ||f|| sont la même norme ? Car il ne s'agit pas de montrer que ||.||_1 et ||.||_\infty sont la même norme mais que ||.||_1 et N_h(f) le sont. Excuse si la question est idiote !

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 18:54

Ce que je t'avais donné n'était qu'un contre-exemple à l'énoncé si ||.|| était une norme quelconque.
Autre chose avant de continuer : pourquoi dis-tu qu'il faut montrer que et sont la même norme. il faut montrer qu'elles ont équivalentes ce qui n'est pas du tout la même chose.

En ce qui concerne ta première question, les normes ||.|| et N_{h} peuvent très bien être différentes.

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 18:55

Je recommence :
Je voulais dire :
pourquoi dis-tu qu'il faut montrer que ||.||_{1} et N_{h} sont la même norme ?

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 18:59

Oups, autant pour moi. Je voulais dire équivalente !

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 19:02

Sinon, est-ce que tu comprends mon contre-exemple ?
La seule chose raisonnable que je vois c'est que ||.||=||.||_{1} et là, le résultat est vrai !

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 19:31

Oui, je vois ce que tu veux dire.
Le problème, c'est que l'équivalence des normes doit probablement être utile pour la troisième question.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 19:37

Tu as raison : on a bien besoin de cette équivalence des normes pour pouvoir faire la troisième question puisque u est clairement continue si l'on munit E de la norme ||.||_{1}.
c'est pourquoi je me demandais si par hasard on aurait pas ||.||=||.||_{1}. Dans le cas contraire, je ne vois pas comment conlure. Mais je me trompe peut-être.

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 19:40

OK, pour le moment, je vais faire l'exercice avec cette hypothèse.

En tous cas, je te remercie pour ton aide.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 19:43

Mais je t'en prie !

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 20:23

Si tu es toujours là, j'aurais quelques questions au sujet de la troisième question... surtout au niveau de la rédaction.
Si u est continue, alors on a :
\forall \epsilon >0, \exists \alpha >0, \forall f \in E, N_h(f-f_0) \longrightarrow |u(f) - u(f_0)|<\epsilon.
Or comme N_h et ||.||_1 sont équivalentes, on va prendre ||f-f_0||_1=\int_0^1|f(t)-f_0(t)|dt < \alpha.
|u(f) - u(f_0)|=|\int_0^1 (f(t)-f_0(t))dt|.
Or comme ceci est plus petit que alpha, c'est aussi plus petit que epsilon, d'où la continuité.

Peux-tu me dire si j'ai juste et éventuellement corriger ma rédaction s'il te plait ?

Merci

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 22:05

Ce que tu as fait a l'air juste seulement il manque un facteur.
En effet, le fait que les deux normes soient équivalentes implique l'existence de a et b strictement positifs tels que pour toute f, on a a||f||_{1}\leq N_{h}(f)\leq b||f||_{1}.
Quand tu fais cette démonstration, tu dois faire apparaître le facteur b.
Cependant, je te conseille de procéder autrement.
D'abord, tu remarqueras que u est une application linéaire.
Or la continuité d'une application linéaire u se caractérise par les 3 propriétés équivalentes suivantes :
1) u est lipschitzienne
2) u est bornée sur la boule unité
3) u est continue en 0.
4) il existe une constante a tel que pour tout x, ||u(x)||\leq a||x||

Dans le cas qui nous intéresse, on a clairement |u(f)|\leq ||f||_{1}
ce qui implique que u est continue sur E muni de la norme ||.||_{1}.
L'équivalence des deux normes permet de conclure quant à la continuité de u sur E muni de la norme N_{h}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 22:08

Pardon, il faut croire que je ne sais plus compter !
Je voulais dire bien sûr "les 4 propriétés équivalentes suivantes".

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 23:15

Oui, effectivement, c'est plus simple comme tu l'écris. Merci de ton aide.
Si tu es d'accord, j'aimerais bien avoir de l'aide sur un deuxième exercice :
Soit V le \mathbb{R}-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables de l'intervalle ouvert ]-1,1[ dans \mathbb{R} et soit E le sous-espace vectoriel de V constitué des fonctions polynômes.
On définit des suites (g_p)_{p \in \mathbb{N}} et (h_p)_{p \in \mathbb{N}} d'éléments de E par :
g_p(t)=\sum_{n=0}^p \frac{t^{n+1}}{(n+1)^2}, h_0(t)=1, h_p(t)=t^p pour p \in \mathbb{N} ^*.
1) Vérifier que l'on définit une norme sur E en posant, pour f \in E :
||f||=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} |f^{(n)}(0)|.
Dans toute la suite E sera muni de cette norme.
2.a) Montrer que, pour n \in \mathbb{N}, l'application linéaire :
D_n:E \to \mathbb{R}, f \to f^{(n)}(0)
est continue et calculer sa norme.
2.b) Montrer que l'application linéaire D:E \to E, f \to f' n'est pas continue.
3.a) Montrer que la suite (g_p) est de Cauchy dans E.
3.b) Montrer que (g_p) ne converge pas dans E (on pourra considérer ||g_n-g|| où g \in E et n tel que n \ge deg(g).
3.c) Que peut-on en déduire pour E ?

Donc pour la première question, pas de problème.
2.a) En utilisant le point 4 du théorème que tu m'as cité et en posant a = n!, l'inégalité est évidente, donc elle est continue.
Par contre, je ne me souviens plus comment on peut calculer sa norme. Ca doit être tout simple mais ça fait longtemps que j'ai vu ces notions et j'ai du mal à retrouver certains automatismes.
Pour la 2.b, pareil, je ne vois pas comment avancer.
Peux-tu me donner de nouveau un coup de main s'il te plait ?

Merci

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 23:35

En général, lorsque tu montres qu'une application linéaire u est continue en utilisant le point 4) du théorème que je t'ai énoncé, si le "a" en question a été trouvé en faisant des majorations pas trop grossières, il y a de fortes chances que ce a soit la norme que l'on cherche.
Ici, il se trouve que n! est la norme de D_{n}.
Pour montrer que c'est bien la norme, ce qu'il y a de pratique, c'est de trouver un élément f de E tel que l'on ait l'égalité (c'est-à-dire |f^{n}(0)|=n!||f||).
Regarde si par hasard ça marcherait pas avec f(x)=x^{n}

Posté par
Nico86re : Normes 10-02-06 à 23:39

Par hasard, ça a l'air de marcher
Mais en ne prenant qu'un exemple de fonction f, ne sommes-nous pas dans un cas particulier ? Cet exemple suffit-il pour conclure ?

En tous cas je te remercie pour ton aide. Je chercherai la fin de l'exo demain.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 10-02-06 à 23:48

ça suffit largement.
En effet, tu a démontré que pour tout f de E, on a \large{|D_{n}(g)|\leq n!||g||}.
On a donc pour tout élément non nul de E, \large{\sup_{g\neq 0} \frac{||D_{n}(g)||}{||g||} \leq n! }

En prenant f(x)=x^{n}, on a \large{|D_{n}(f)|= n!||f||}

On sait que l'on a \large{n!=\frac{|D_{n}(f)|}{||f||}\leq \sup_{g\neq 0} \frac{||D_{n}(g)||}{||g||} \leq n!}, d'où l'égalité recherchée.

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 09:24

OK, je viens de comprendre. Heureusement que tu es là
Pour la question 2.b, j'essaye de trouver un contre-exemple, mais je n'y arrive pas. En vois-tu un ?
Pour la question 3.a), je propose :
||g_q-g_p||=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}|\sum_{n=p+1}^{q} (\frac{t^{n+1}}{(n+1)^2})^{(i)}(0)| = \sum_{i=p+2}^{q+1} \frac{1}{(i+1)!} \frac{(i+1)!}{(i+1)^2} = \sum_{i=p+2}^{q+1} \frac{1}{(i+2)^2}
Ce qui est plus petit que epsilon pour un p et un q assez grand. (Je ne suis pas tout à fait sûr des indices).

Pour la 3.b), je me doute qu'il faut donner la bonne valeur à g pour trouver un contre exemple, mais je n'y arrive pas. As-tu une idée ?

Pour la question 3.c), on en déduit que toute suite de Cauchy ne converge pas dans E.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 12:13

Bonjour Nicolas

Me revoilà !
En général, quand on ne travaille pas en dimension finie, les endomorphismes de dérivation ne sont pas continus (bien sûr, ce n'est qu'une remarque et il existe peut-être des normes pour lesquelles la continuité est assurée).
Ici, la dérivation n'est pas continue et pour le montrer, il suffit de montrer que la continuité en 0 n'est pas vérifiée.
Pour les contre-exemples, il faut chercher ce qui paraît le plus simple.
regarde si "par hasard", la suite définie par f_{n}(t)=\frac{t^{n}}{n} conviendrait.

Pour la 3)a), c'est un truc dans ce genre là (mais il faut encore que je vérifie les indices).

pour la 3)b), je cherche encore.
Pour la 3)c), c'est vrai mais je pense que la réponse attendue doit être plus liée à une histoire de vocabulaire.
Ce que j'entends par là c'est : comment appelle-t-on un espace vectoriel normé dans lequel toute suite de Cauchy converge ?

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 12:45

Pour la 2.b), si j'ai bien compris, je calcule :
||D(f)-D(0)||=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} |(t^{n-1})^{(i)}(0)-0|=\frac{1}{(n-1)!}*(n-1)!=1. Donc elle n'est pas continue en 0, donc pas continue.
Pour la 3.c, il doit s'agir d'un espace complet si ma mémoire est bonne.

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 12:55

c'est exactement ça !
Il faut également préciser que la suite que je t'ai proposée converge vers 0.

Pour la 3)c), c'est ça ! j'attendais en plus que tu me dises qu'un tel espace vectoriel (s'il est normé) est appelé espace de Banach.

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 12:58

Ah oui, exact. J'avais oublié.
OK aussi pour l'espace de Banach, je n'y avais pas pensé. Merci.
Et pour la 3.b, tu as une idée ? Je continue de chercher mais je ne vois pas.

En tous cas, merci pour ton immense aide

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 12:58

Finalement, pour la somme, je trouve que ||g_{p}-g_{q}||=\bigsum_{n=p+1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{2}} et après on conclut comme tu l'as fait.

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 13:01

Pour l'instant, je n'ai pas d'idée sur la question. Je vais devoir me déconnecter mais je reviendrai tout à l'heure.

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 14:36

Finalement, je crois savoir comment procéder pour la question 3)b) en suivant les indications de l'énoncé.

Supposons par l'absurde que la suite converge dans E
Notons g sa limite et d le degré de g.

Soit n supérieur ou égal à d.
Le but est de montrer que ||g_{n}-g|| ne tend pas vers 0 auquel cas on aura gagné.

||g_{n}-g||=\bigsum_{p=0}^{+\infty}|g_{n}^{(p)}(0)-g^{(p)}(0)|=\bigsum_{p=0}^{d}|g_{n}^{(p)}(0)-g^{(p)}(0)|+\bigsum_{p=d+1}^{+\infty}|g_{n}^{(p)}(0)-g^{(p)}(0)|\geq \bigsum_{p=d+1}^{+\infty}|g_{n}^{(p)}(0)-g^{(p)}(0)|
or pour tout p supérieur à d+1, les dérivées de g d'ordre p sont nulles, donc cette dernière somme s'écrit aussi :
\bigsum_{p=d+1}^{+\infty}|g_{n}^{(p)}(0)|=\bigsum_{p=d+1}^{n+1}|g_{n}^{(p)}(0)|

je te laisse finir !

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 16:41

Si je ne me suis pas trompé dans les indices, je trouve que \sum_{p=d+1}^{n+1}|g_n^{(p)}(0)|= \sum_{p=d+1}^{n+1} \frac{p!}{p^2}. Or comme cela est différent de zéro et ne converge pas vers 0, la suite (g_p) ne converge pas. C'est ça ?

En tous cas merci pour ce coup de main, t'es génial

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 16:52

Je t'en prie !

Mais je me rends compte que j'ai écrit une bêtise.
En effet, dans l'expression de la norme, j'ai oublié les factorielles, ce qui fait que la somme est en fait égale à \bigsum_{p=d+1}^{n+1}\frac{1}{p^{2}}.
La suite du raisonnement reste le même en disant que cette somme ne converge pas vers 0.
Sinon, pourquoi dis "Or comme cela est différent de zéro " ?

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 16:54

Je disais cela car si la somme vallait zéro, la suite serait convergente. Mais il est vrai qu'il suffit de dire qu'elle ne converge vers zéro.

Encore merci. C'est super sympa à toi de m'avoir aidé !

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 17:00

Je t'en prie ! (je sais : je me répète beaucoup )

Ah oui, j'oubliais !
Comme l'autre fois, tu m'avais donné des conseils en latex (pour l'écriture de "sup"), je me permets de te donner une astuce à mon tour.
Pour écrire les sommes, utilise plutôt \bigsum à la place de \sum.
Tu obtiendra un truc du genre \bigsum_{n=0}^{+\infty} au lieu de \sum_{n=0}^{+\infty}

kaiser

Posté par
ottore : Normes 11-02-06 à 17:03

Si toute suite de Cauchy convergeait dans E, E serait un espace de Banach à base infinie dénombrable, ce qui serait assez embettant, car ca contredirait le théorème de Baire.
Je ne suis pas sur que la suite gp de l'énoncé soit vraiment optimale pour montrer que E ne peut pas être complet.
A+

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 18:22

Merci pour ton astuce Kaiser. Je me disais bien aussi que ce n'était pas très beau comme je faisais mais je ne voyais pas le moyen de faire autrement.

Franchement merci pour tout. Tu m'as été d'une super aide.

Bonne soirée.

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : Normes 11-02-06 à 18:27

Bonne soirée à toi aussi !

Kaiser

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 22:10

Finalement, j'aurais encore une question au niveau de la 3.b).
J'ai l'impression que l'on suppose que si (g_n) converge, elle converge forcément vers une fonction de degré plus petit que n. Pourquoi (g_n) ne pourrait-elle pas converger vers une fonction de degré plus grand que n ?
Excuse si la question est bête mais il y a un truc qui m'échappe !

Je te remercie d'avance.

Nicolas

Posté par
ottore : Normes 11-02-06 à 22:22

g est un polynôme, donc a un certain degré d=deg(g).
(gn) est une suite de polynômes telle que gn est de degré n+1.
Notamment lorsque n tend vers l'infini, n+1 aussi, donc à partir d'un certain rang (le rang n=d) on a que deg(gn)>d.

Posté par
Nico86re : Normes 11-02-06 à 22:30

OK. Merci Otto. C'est sympa de m'avoir éclairé.

Nicolas


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