En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes:
Donc, à vue de nez, la propriété que tu conjectures "ne doit pas être loin d'être vraie".
Je ne sais pas s'il est possible d'aller plus loin et si ça peut te mettre sur la voie.

Bonjour
Sans restreindre  la généralité pour
il suffit de montrer que l'application de
est croissante.

Si ce n'est pas le cas il existe a et b dans
tel que a<b et N(b,y)< N(a,y)

On considère la boule B (fermée) de centre O et de rayon N(b,y).
Comme N(-b,y)=N(b,y) alors (-b,y) est dans B.
Les boules étant convexes, on en déduit que (a,y) est dans B, ce qui est contradictoire.

Bonsoir fabom13m.

Voici une idée à finaliser :

Soit . On note l'élément de dont la ième coordonnée est celle de y et les autres nulles. On note .

Il n'est pas difficile de montrer que l'hyperparallépipède défini par les points et est entièrement inclus dans grâce aux symétries et convexité de .

Or, précisément, cet hyperparallépipède est l'ensemble .

Conclusion :

Rebonjour
Je crois que la démo de @jvsdb et la mienne  sont similaires dans le sens que l'on utilise la convexité et la symétrie. En fait c'est ça l'ingrédient.

Super, merci beaucoup!

salut

jb2017 : je ne comprends pas ta conclusion de 22h (la dernière ligne)

Bonjour
@Carpediem voici un peu  de détails pour la dernière ligne:
on a   -b<0<a<b
Donc a est  dans  ]-b,b[, ou si on veut : il existe 0<t<1 tq
a=t(-b)+(1-t)b  
Donc (a,y)=t(a,-b)+(1-t)b.
La boule  B étant convexe  on en déduit queet c'est  contradictoire
N(a,y)>N(b,y)
J'espère que c'est d'accord?  


  

ha ok !!

tout à fait d'accord ...

merci