La norme euclidienne *

Salut,

Pour allier le concept de géométrie avec les différents espaces que l'on connaît.

Il suffit de tracer les différentes boules unités..
La norme euclidienne en dimension 2 : la boule unité est définie par l'ensemble des points tels que x²+y²<=1, donc...
De même pour la norme infinie et la norme 1..

salut,

peut-être que pour le moment tu n'en as pas conscience mais est un corps ordoné, ce qui n'est pas le cas de par exemple.
Si tu place 1+i sur un graphe et si tu place 2-i, a priori tu ne peux pas dire lequel est le plus grand, ça n'a pas de sens.
est un corps ordoné, l'idée d'introduire une norme est d'avoir une méthode pour mesurer deux éléments d'un corps non-ordoné. Cela est vrai donc pour pour ² mais aussi pour les espaces de fonctions.
La notion de distance est fondamental en géométrie.

Avoir plusieurs norme sert donc à comparer deux éléments selon plusieurs critère.
Tu peux comparer deux voitures selon leur couleur, mais aussi selon leur marque, ou leur nombre de kilomètre.
Si ta norme change, il est évident que sa représentation géométrique va changer.

d'accord merci beaucoup à vous, j'ai une proposition dans mon cours qui dit que toute norme est équivalente sur R^N . Comment dois-je comprendre ça ? Je ne vois pas comment l'interpréter. Fin j'ai pas compris cette prop.

Tu n'as peut être pas vue encore la notion mais les normes équivalentes définissent la même topologie induite. Donc on peut travailler sur des espaces topologique sans ce soucier de la norme que l'on prend (si elles sont équivalentes), ça fait un truc de moins à gérer.

Bonjour,
Pour faire simple
Si un espace vectoriel E est munie d'une norme (disons N) nous avons alors une notion de distance (disons d)  définie par d(x)=N(x-y).

On peut donc parler de limite dans E:  la suite (x_n) converge vers
ssi d(x_n,l) tend vers 0 qd  n tend vers l'infini.

Alors se pose cette question simple. Cette notion de limite dépend elle de N ?

La réponse  est oui. Une suite peut converge vers un élément l et pour une autre e ne pas converger vers l pour une autre norme.  Cependant (et c'est important) lorsque 2 normes sont équivalentes la notion de limite est la même. Et en particulier si E est de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

On peut se poser une autre question.. Si en dimension finie la notion de limite es t la même pourquoi choisir une norme par rapport à une autre.
Et bien dans certain cas une preuve sera plus facile avec une norme bien choisie.
Ou alors avec les ordinateurs  (en "ingénieurie" par exemple ) pour certains  calculs une norme sera moins "couteuses"   en temps de calculs qu'une autre.

A retenir que dimension finie on utilise essentiellement  3 normes

la norme 2  (norme euclidienne ) la norme 1 (...)  et la norme "infinie" (norme du sup
).  

d'accord merci