Inscription / Connexion Nouveau Sujet
normes equivalentes
bonjour a tous.
venant de débuter le programme de math spé (MPSI) sur les E.V.normé, je cherche a demontrer que sur (R)^n toute les normes sont equivalente et a travers un exo que:
sur (R)^n,
N1(x), N2(x) et N inf (x) sont equivalentes , ce qui d'après le theoreme revient a chercher les alpha et beta et ainsi pouvoir ecrire les inéquation et prouver les équivalence...
ce que je n arrive pas a demontrer ( pour le moment)...
j espere que vous pourrez m aider
merci d avance
Bonjour thibaut ;
Soit un
-espace vectoriel de dimension finie (c'est le cas en particulier des espaces
) et
et
deux normes sur
.En considérant l'application
qui est clairement continue et en utilisant la compacité de la sphére unité
de
on conclut que
est bornée sur
et ainsi il existe une constante réelle
telle que
et il suffit maintenant de poser
pour voir que
cette inégalité étant satisfaite pour
on a le résultat pour tout
de
.
En échangeant dans cette preuve le rôle symétrique de et
on a l'existence d'une constante réelle
telle que
.
Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie nous donne l'existence des constantes et
mais ne fournit aucun moyen de les calculer et vu la preuve ci dessus on comprend que ces deux constantes dépendent du couple de normes en question.
Ainsi par exemple sur pour les trois normes:
qui (on le sait) sont
à
équivalentes,il est facile de vérifier que
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac