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Niveau maths spé
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Normes equivalentes

Posté par
Callystos
19-11-20 à 11:29

Bonjour !
Je n'arrive pas à montrer que les normes suivantes sont équivalentes :

N1(f) =\left|f \right| + \left|f' \right|
Et N2(f) =\left|f+f' \right|
Avec  \left|. \right| la norme infinie sur [0,1] et f C1([0,1],R)

J'ai déjà montré que que N2<=N1

Merci !

Posté par
jsvdb
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 11:53

Bonjour Callystos.
N2 n'est pas une norme.
L'équation f + f' = 0 admet comme solution f(x) = Ke^{-x}, K\in \R.
Ces applications ne sont pas nulles des que K est non nul !

Posté par
Foxdevil
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 11:53

Bonjour,

L'énoncé n'est pas très clair

De plus N2 n'est pas une norme...

Posté par
Foxdevil
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 11:53

jsvdb @ 19-11-2020 à 11:53

Bonjour Callystos.
N2 n'est pas une norme.
L'équation f + f' = 0 admet comme solution f(x) = Ke^{-x}, K\in \R.
Ces applications ne sont pas nulles des que K est non nul !
Je te laisse gérer

Posté par
jsvdb
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 11:54

La gestion est rapide : mettre un énoncé correct !

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 12:03

Désolé, j'ai oublié de dire que f(0)=0, merci de me l'avoir signalé !

Posté par
bbjhakan
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 12:19

bonjour
pose g=f+f' et exprime f en fonction de g pour majorer ensuite

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 13:57

J'imagine que je dois utiliser l'inégalité triangulaire sur la norme de g-f' ?
Mais je n'arrive pas à aller plus loin :/

Posté par
bbjhakan
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 14:02

non
résous l'équation différentielle f'+f=g  sans oublier que f(0)=0 puis majore la norme infinie de f en fonction de N2(f)

Posté par
jsvdb
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 14:38

Puis, majore ||f'||_\infty en fonction de N_2(f).
Puis tu conclus.

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 17:09

J'ai trouvé, merci !

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 17:31

J'aurais une dernière question concernant une autre norme :
U est une suite convergente telle que U(0)=0
N(U)= sup (n appartenant à N) \left|U(n+1)-U(n) \right|
Je dois comparer cette norme à la norme infinie. Je ne pense pas qu'elles soient équivalentes mais je n'arrive pas à trouver un contre exemple.

Posté par
bbjhakan
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 20:05

l'intuition est bonne mais il faut le prouver: tu peux essayer de construire une suite telle que le rapport des deux normes tend vers 0 (ou l'infini)

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 20:32

Justement, c'est sur ce point où je n'ai aucune idée :/

Posté par
Callystos
re : Normes equivalentes 19-11-20 à 22:27

C'est bon j'en ai une ! Merci quand même

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