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normes matricielles

Posté par
cara 16-04-08 à 15:33

bonjour
je n'arrive pas à démontrer l'inégalité suivante !
Quelqu'un peut'il m'aider?

||A||22 ||A||E2 n||A||22

avec ||.||22= (A*A) (norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle ||.||2)
et ||.||E2 = tr(A*A) (norme matricielle non subordonnée)

merci de votre aide

Posté par
caranormes matricielles 16-04-08 à 15:40

correction ...

avec ||.||2[sup][/sup]2= (A*A) (norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle ||.||2)
sans le rayon spectral on risquait pas de comprendre...


merci de votre aide

Posté par
caranormes matricielles 16-04-08 à 17:43

au secours !!!

Posté par
perroquetre : normes matricielles 16-04-08 à 18:22

Bonjour, cara

Sur quel espace de matrices se place-t-on ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : normes matricielles 16-04-08 à 18:35

Bonjour perroquet ;

avec la notation de l'adjoint matriciel , on est sans doute dans 4$\fbox{M_n(\mathbb{C})} (sauf erreur bien entendu)


Posté par
caranormes matricielles 16-04-08 à 18:43

oui c'est bien cela

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : normes matricielles. 16-04-08 à 22:58

\fbox{*} Bien entendu on munit \mathbb{C}^n de son produit scalaire hermitien 4$\fbox{(x_1,..,x_n).(y_1,..,y_n)=\Bigsum_{i=1}^{n}\;x_i\bar{y_i}}
et de la norme qui en dérive 4$\fbox{||(x_1,..,x_n)||_2=\sqrt{\Bigsum_{i=1}^{n}\;|x_i|^2}}.

\fbox{*} Pour 3$\fbox{A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})} on vérifie facilement que 4$\fbox{||A||_E^2=tr(A^*A)=\Bigsum_{1\le i,j\le n}\;|a_{ij}|^2} ,

ainsi pour 3$\fbox{X=(x_1,..,x_n)\in\mathbb{C}^n} tel que 3$\fbox{||X||_2=1} on a , 4$\fbox{||AX||_2^2=\Bigsum_{i=1}^{n}\;|AX|_i^2=\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|\Bigsum_{j=1}^{n}\;a_{ij}x_j\right|^2}
et en utilisant l'inégalité de Cauchy-shwarz on a , 4$\fbox{||AX||_2^2\;\le\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left(\Bigsum_{j=1}^{n}\;|a_{ij}|^2 \\ \right)\left(\Bigsum_{j=1}^{n}\;|x_j|^2\right)=||A||_E^2}

et on voit que 5$\blue\fbox{||A||_2^2=\sup_{||X||_2=1}\;||AX||_2^2\;\le\;||A||_E^2} (à suivre et sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : normes matricielles. 17-04-08 à 00:58

\fbox{*} Et on voit aussi à partir de 4$\fbox{||AX||_2^2\;=\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|\Bigsum_{j=1}^{n}\;a_{ij}x_j\right|^2} qu'en choisissant 3$\fbox{X=e_j} le j-ième vecteur de la base canonique de \mathbb{C}^n ,

on a 4$\fbox{||Ae_j||_2^2\;=\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|a_{ij}\right|^2} et donc que 4$\fbox{||A||_2^2\;\ge\;\max_{1\le j\le n}\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|a_{ij}\right|^2} ,

et comme 4$\fbox{||A||_E^2= \Bigsum_{j=1}^{n}\;\left(\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|a_{ij}\right|^2\right)\;\le\;\Bigsum_{j=1}^{n}\;\left(\max_{1\le j\le n}\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|a_{ij}\right|^2\right)=n.\left(\max_{1\le j\le n}\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\left|a_{ij}\right|^2\right)}

on voit que 5$\blue\fbox{||A||_E^2\;\le\;n.||A||_2^2} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
caranormes matricielles 17-04-08 à 16:25

merci beaucoup !!!


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