Salut,
||Tx|| < ||T||.||x|| est évident par définition de la norme de T. En fait, pour que ce soit plus simple, remarque que la norme de T, obtenue comme sup sur la boule unité fermée peut tout simplement être obtenue comme sup sur la sphère unité.

Maintenant c'est "vraiment" trivial.

Pour la 4, note que la convergence simple n'a pas lieu d'être ici. La convergence simple est un mode de convergence de fonction, tu mélanges deux concepts.
Ici tu as un espace de Banach, donc complet et dans un espace complet tu peux appliquer le M-test de Weierstrass.

Pour la 5, tu as une série géométrique.

En faite j'ai pas compris la différence boule unité fermée et sphère unité.
Je suis ok sur le fait que :
mais pour moi c'est pas trivial en ajoutant le !
Tu peux expliciter un peu plus stp ?

Dans la définition de la norme, tu prends le sup sur la boule unité fermée (i.e. les x de norme plus petits ou égaux à 1) mais tu peux aussi ne prendre le sup que sur les x de norme exactement égaux à 1 (c'est évident que le sup sur cet ensemble est plus petit, mais par linéarité c'est également évident qu'il est plus grand, donc qu'il est égal).

A ce moment là, reviens à "ma" définition, et tu verras pourquoi tu as effectivement l'inégalité annoncée.

Bon:

Si j'appelle ||T|| le sup des ||T(x)|| pour ||x||=1

Es tu d'accord que
||T(x)|| < ||T||
(par définition) ?

De plus, pour x de norme 1 ceci est équivalent à

||T(x)|| < ||T||.||x||   (*)

Oui?

Maintenant tu peux retrouver facilement cette inégalité pour tout y de norme quelconque:

si y=0 c'est trivial.
Sinon pose x=y/||y|| qui est de norme 1, tu peux donc appliquer l'inégalité (*) puisque x est de norme 1

Tu trouves

||T(y)|| < ||T||.||x||.||y||

mais ||x||=1

et donc
||T(y)|| < ||T||.||y||

pour tout y.

a+

J'essaie de comprendre.
J'ai pris la définition de la norme de T comme étant : (celle qui est dans le cours).
Donc on peut aussi prendre : .
Déjà je vois pas pourquoi! On fait quoi des cas ou ?

Ensuite, mais pourquoi ? J'ai pas compris que vient faire la linéarité ici pour obtenir l'autre sens donc l'égalité !

post croisé, je lis ton message...

Je prend l'inéalité stricte parce que sinon je devrais passer en tex et que je suis très feignenant, mais sauf mention contraire l'inégalité est large.

Pourquoi est-ce que le sup est atteint sur les ||x||=1 et pas les ||x|| < 1 (strictement) ?

C'est pas difficile:

suppose qu'il existe w tel que ||w|| < 1 (strictement) et que ||T(w)|| > ||T(x)|| pour tout x tel que
||x|| <= 1  

Alors que penses tu de
|| T(w/||w||) || ?

On a || T( w/||w|| ) || < || T(w) || par hypothèse.

Et donc par linéarité, on trouve

||T(w)|| < ||T(w)||.||w||

Ce qui donne
||T(w)||.(1-||w||) < 0
et donc ?

et donc alors que, par hypothèse, !

En fait, je ne sais pas si on appelle toujours ça le M-test ou si c'est juste pour les fonctions, mais ça dit que dans un espace complet, une série absolument/normalement convergente est convergente.

C'est ce que tu as dit, mais sans parler de convergence simple, qui est un terme reservé aux fonctions.

a+

Ah ok.
Je suis encore dans mes dernières révisions sur les suites/séries de fonctions lol.
(sinon ca veut dire quoi M-test ?)

Sinon je voulais savoir, le fait que l'on soit dans change quelque chose ou pas ?

Oui, tu ne sais pas si L(E) est complet à priori, tu ne sais que que E l'est.

Ok.
Dans la dernière question on a bien c'est une série géométrique dont la raison est plus petite que 1 donc cette somme vaut 0 ?

Oui, mais pourquoi ?
Il faut le justifier un peu.

Je te conseille de développer le produit
(1-I)(1+T+...+T^n) pour tout n et de conclure ensuite.


Sinon tu peux montrer que L(E) est complet, pourquoi ? (c'est essentil puisque l'on s'en sert).

Euh plutôt non ?
On a mais ensuite ? Je vois pas quoi en faire!

complet ? On s'en sert ou ici ?
Il faut prendre une suite de convergente et montrer que la limite est encore dans ?

Si E est un banach, E* l'est aussi.

On veut montrer que la somme converge vers I.
Regarde la différence entre ta somme et I.

Note que la convergence de ta somme (vers x) pour tout x, ne suffit pas à montrer ce que tu cherches, c'est pour celà que l'on regarde ce qui se passe en norme.

a+

E* ?
C'est pour répondre à quoi ? à complet ?

Si je regarde euh en faite je vois pas trop ou en arriver!

E* c'est une autre notation pour L(E).

Calcule plutôt ||(I-T)*somme jusqu'à n de T^k - I ||
si ce n'est pas ce que je t'ai dit

Ok.
Alors il faut calculer ceci :
ou ?

Le deuxième terme, vu que tu cherches à trouver la limite et que tu as une bonne idée de ce que c'est ...

On trouve que :
?

Oui, et comment montrer que ce truc converge vers 0 ?

On a montré que

Or donc
Théorème d'encadrement permet de conclure ?

Oui bien sur.
a+

Il faut finir par
??

Ce que tu dis est faux.
As tu compris ce que tu viens de faire ici?

On vient de montrer que converge normalement vers ?

Qu'appelles tu convergenec normale?

On vient de montrer la convergence (en norme d'opérateur, c'est à dire en norme canonique sur E*) de la suite d'opérateurs vers l'opérateur identité.

Si tu t'étais seulement restreint à montrer que pour tout x, ta suite converge vers x, tu n'aurais montré que la convergence faible* .

Par analogie aux suites de fonctions, c'est un peu comme si tu venais de montrer la convergence uniforme, et que sinon tu aurais montré la convergence simple.

Convergence de suite d'opérateurs ?
Je ne crois pas avoir vu cela en cours en fait :/
C'est quoi exactement ?

?

Pas besoin de voir ca en cours, la convergence de suite d'opérateur, c'est la convergence, pour une suite d'opérateur.
Quand tu as une norme (plus généralement une métrique ou une topologie), tu peux définir la convergence, non?

Ici, ta suite est bien une suite d'opérateurs sur E, non?

non mais c'est quoi une suite d'opérateurs ?

Une suite d'éléments de L(E).

donc nous donne la convergence de vers ?

La convergence en norme d'opérateur, oui.

mais ça signifie quoi la convergence en norme d'opérateur ?
j'ai jamais vu ça en cours!

Je te l'ai dit, ça signifie que tu as convergence, pour la norme canonique que tu mets sur L(E).

Quand tu as une notion de convergence, c'est bien par rapport à une norme, non?

Sinoin je t'ai dit une bétise l'autre fois, je t'ai dit que L(E)=E*, c'est évidemment une énorme bétise.

E*=L(E,k)

Ah! Ok, ce que tu appelle E* c'est le dual non? (forme linéaire sur K, j'ai fait ça au semestre dernier il me semble)
Sinon je crois que je commence à comprendre, mais je vois pas en quoi cela nous permet de conclure sur le fait que I-T soit un isomorphisme ?

Tas trouvé un inverse pour I-T, non?

pff!
y'a des moments ...
merci otto pour ton aide.