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Notation de L'inverse par rapport à la multiplication
Bonjour, j'ai une question:
Si on a
K telque k est un corps comutatif.
Quand on veut ecrire l'inverse de "a" on ecrit "a-1"toujours ou on peut ecrire "1/a"?
Merci d'avance 
.
Bonjour !
Quand le corps est commutatif (en principe ils le sont toujours !) cela ne pose aucun problème...
Bonjour,
L'inverse est noté a-1 pour tous les opérateurs notés multiplicativement (par exemple, multiplication des matrices, composition des applications, ...). Cette notation est aussi valable pour la multiplication dans un corps, mais dans ce cas particulier, la notation 1/a sera souvent préférée pour sa commodité et souligner l'analogie de propriétés avec les corps de fractions comme 
, ...
Bonjour !
Quand le corps est commutatif (en principe ils le sont toujours !) cela ne pose aucun problème...
Théorème: Au niveau Math Sup, tous les corps sont commutatifs
Néanmoins, on peut très vite fournir des exemples (quaternions, ...) de corps non commutatifs.
salut
"être commutatif" n'a rien à voir avec "comment écrire l'inverse"
dans tout corps on note l'inverse de a
et on montre que l'inverse à gauche est inverse à droite (et réciproquement) simplement :
si u est inverse à gauche et v inverse à droite de a alors ua = av = 1
donc ua = 1 <=> (ua)v = v <=> u(av) = v <=> u = v
on voit donc qu'une condition nécessaire est l'associativité du produit
dans une algèbre non associative (pour la deuxième loi donc) les inverses à gauche et à droite peuvent être distincts ...
Je serai tenté de dire que l'inverse, on l'écrit comme ça nous chante et que n'est qu'un standard d'écriture qui permet de combiner inverse et exponentiation
Mais comme le souligne Boninmi, l'écriture 1/a est "plutôt réservé" à des objets de corps de fraction.
Pensons à cet exemple : dans un espace de matrice, on écrit bien l'inverse d'une matrice inversible. Je n'ai jamais vu de
(tiens, au fait, c'est possible de faire un corps de fraction avec les matrices ? ... je ne ms suis jamais posé la question !)
on parle d'algèbre (associative) des matrices mais évidemment pas de corps puisqu'il n'y a que "peu" d'inverses
(tiens, au fait, c'est possible de faire un corps de fraction avec les matrices ? ... je ne ms suis jamais posé la question !)
En principe, on construit un corps de fractions à partir d'un anneau intègre et commutatif. L'anneau des matrices n'est ni l'un, ni l'autre .
Bonjour carpediem
salut
"être commutatif" n'a rien à voir avec "comment écrire l'inverse"
Dans une algèbre non commutative la notation
Effectivement, c'est la remarque que j'ai faite à un élève qui me le demandait le pourquoi il valait mieux pas écrire a/b quand on était pas commutatif.
(tiens, au fait, c'est possible de faire un corps de fraction avec les matrices ? ... je ne ms suis jamais posé la question !)
En principe, on construit un corps de fractions à partir d'un anneau intègre et commutatif. L'anneau des matrices n'est ni l'un, ni l'autre .
Merci mon ami pour ce petit rafraichissement de mémoire pas totalement inutile
Bonjour carpediem
salut
"être commutatif" n'a rien à voir avec "comment écrire l'inverse"
Dans une algèbre non commutative la notation
ok je suis d'accord ....
mais de toute façon la notation 1/a est effectivement quasiment exclusivement réservée à un corps comme C ou ses sous-corps et en particulier de caractéristique non finie ...
même dans Z/pZ avec p premier écrire 1/a est "dangereux" ...
Tu as ici un autre problème : celui de "l'abus de notation".
Dans on devrait faire une distinction entre l'entier
et la classe de
modulo
.
Si on fait l'abus d'écrire à la place de "classe de..." , écrire
revient à écrire
ce qui est évidemment peu recommandé.
Comme pour les "angles" l'expression désigne une "addition itérée". La "division" par l'entier
n'a aucun sens mais on peut lire
qui est bien un produit, reste à savoir si l'un des facteurs est nul.
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