Salut,
un moyen mnémotechnique de quoi?
Elle est vrai sur le plus grand ouvert sur lequel la série converge. (ici disque unité)
C'est à justifier.

bah je ne sais pas trop mais durant le courant de l'année on avait insisté sur le fait qu'il ne s'agissait pas d'un moyen de démonstration mais plutot d'un moyen mnémotechnique pour se souvenir surtout des series respectivement de termes generaux et

Non tu ne démontres rien, mais c'est quand même vrai. (Tu peux intégrer ou dériver sous le signe somme, sans ne jamais changer le rayon de convergence)
Il existe une méthode très simple pour le montrer, mais qui demande certaines connaissances théoriques assez compliquées.
Il existe d'autres moyens de démonstration, passant par la convergence des séries de fonctions, mais je pense que ce n'est pas au programme de première année, et je ne sais pas si ca se verra en seconde année.

Cependant, en éco, cette formule est très très utile, car c'est le genre de séries que l'on retrouve tout le temps en prob et stats.

Merci pour cette réponse si rapide
Puor l'utilité, ca ne fait aucun doute.
La formule en elle même est donc juste mais l'on ne montre pas la chose en dérivant ou en intégrant, si j'ai bien compris.
Pourquoi ce n'est pas vrai au juste?
Par linéarité de la dérivation la fonction obtenue à gauche est a bonne et à droite celaest aussi valable.
Peut etre pourrais tu m'expliquer cela stp
Comment le montres t'on sinon? ca sera peut etre trop complexe pour moi mais pas pour d'auters que ca peut interesser ^^
Jéjé

Salut,
tu sais ce qu'est une convergence uniforme?

hmm non cest ardu a comprendre

point d'interrogation

Non c'est assez facile, mais ca demande de se poser certaines questions.
Si tu ne connais pas çà, alors tu ne connaitras aucune des méthodes simples pour montrer le raisonnement.
Je te propose donc celle que je préfère, et je te la ferai sans démonstration:


La convergence uniforme est en quelque sorte une mesure de la façon dont convergence ta série. La convergence uniforme est en quelque sorte une convergence "lisse", au sens où si tu te déplaces à la fois en n et en x, tu resteras suffisament proche de la limite.
Exemple simple:
fn(x)=x^n sur [0,1]
1-Je peux fixer x=xo, et regarder comment varie la suite (fn(xo)), ce sera donc une suite numérique, et la seule variable est n.
2-Je peux fixer n, et regarder comment varie fn(x), dans ce cas, la variation se fera en fonction de x, et "ce ne sera qu'une bête fonction"
3-Tu peux également regarder ce qui se passe lorsque n et x varie en même temps.

Tu peux montrer que la suite de fonctions ne se comporte pas de la même manière dans le cas 1 et le cas 3 (le cas 2 n'est pas intéressant en soit).
En effet, dans le cas 1, pour tout x différent de 1, tu as fn(xo)->0 et fn(1)->1, c'est trivial.
J'appelle f la fonction "limite" ainsi obtenue. (cas 1)

Maintenant, je vais faire varier en même temps x et n.
je dis que x=xn=(1-1/n)
Notamment fn(xn) est encore une suite numérique, c'est la suite numérique yn=(1-1/n)^n, qui converge clairement vers exp(-1).

Notamment, on voit que exp(-1) n'est jamais une valeur atteinte par f, alors on peut se poser la question de la réalité de cette limite.

On voit bien en fait que, si je x se rapproche de 1, et que n se rapproche de l'infini, fn(x) ne se rapproche pas de f(1). Il y'a une notion de continuité sous jacente.
C'est ce que nous indique cette convergence uniforme, ici, si on fait bouger les deux variables (n et x) en même temps, on ne trouve pas la même limite que si on fait varier x et que l'on fait varier n. Notamment, si on se confine dans une petite région, la limite n'est pas forcément dans cette région, et on a pas une belle convergence propre et lisse comme je le disais.

La convergence uniforme peut se résumer ainsi:
fn converge uniformément sur l'ensemble E vers la fonction f, si on peut trouver une suite (Un) qui converge vers 0 et telle que
sup(|fn-f|)<Un

Notamment, on voit que la distance entre fn et f est aussi petite que l'on veut, et ce, de manière complétement indépendante de x (c'est donc très fort).

Pour revenir à notre exemple:
sup(|fn-f|)=1 pour tout n, donc on ne peut pas trouver un tel (Un) donc la suite fn ne converge pas vers f de manière uniforme sur [0,1].

La convergence uniforme est quelque chose d'important pour avoir certains résultats comme par exemple:
si toutes les fn sont continues, est ce que f le sera? De même pour l'intégrabilité, la dérivabilité etc.
En fait, ca devient relativement obsolète lorsque l'on introduit des outils comme les mesures, on ne se souci que d'une convergence très très faible la plupart du temps, mais tu ne verras pas çà en prépa.


Tu peux montrer (*), que si tu as une suite de fonctions (fn) complexes, dérivables, qui converge uniformément vers une fonction f, sur un ensemble sans "trou", alors f est dérivable de dérivée f' et (fn')->(f').

Notamment ici
fn = somme des X^k pour k=0->n
Tu utilises le théorème sur le disque ouvert unité (ie l'ensemble des x tels que |x|<1).

Je ne me rappelle plus exactement des hypothèses de (*), je vais vérifier, mais ca me semble correct. C'est un théorème non trivial, mais intéressant à démontrer lorsque l'on connait l'analyse complexe; il découle notamment du théorème de Morera.

En fait je ne te démontre rien car:
Soit c'est technique et long (donc pas intéressant) (tu le feras surement en 2e année si tu étudies le sujet mais tu n'utiliseras pas ce raisonnement)
Soit c'est intéressant, mais demande beaucoup de connaissances théoriques. (ce raisonnement est celui que j'ai fait)

Amicalement,
otto

J'ai retrouvé l'énoncé exact du théorème, il y'a une petite bourde, on peut avoir des trous dans notre ouvert:

Soit un ouvert de C.
Soit (fn) une suite de fonctions C-dérivables, telles que (fn)->f sur tout compact K de .
Alors f est dérivable, et (fn')->f' sur tout compact de K.
(la convergence étant uniforme).

(En des termes plus savant, la dérivation est une application continue pour la topologie de la convergence compacte).

Voici un lien vers un cours d'analyse complexe:
http://www.dptmaths.ens-cachan.fr/a9
c'est un cours que je n'aime pas du tout.
(la démonstration du théorème se situe page 31)


Pour revenir au sujet de base:
tu peux montrer plus facilement le résultat, mais c'est très lourd, notamment tu montres que
lim 1/h[somme des (x+h)^n - somme des x^n] existe et est finie lorsque h->0 (définition), mais ca ne présente pas beaucoup d'intéret, mais ca à l'avantage de ne demander que peu de connaissances sur le sujet.(juste la définition d'une convergence uniforme et de savoir majorer et minorer)
Note que l'on a envie de dire que (somme de x^n)'=somme des (x^n)', parce que c'est vrai dans le cas où la somme est finie. C'est déjà moins clair si la somme est infinie et c'est d'ailleurs faux dans certains cas, notamment considère la série
S(X)=somme des (Xⁿ⁺¹-Xⁿ) sur [0,1]
je pense sans me tromper, que la dérivée de la somme (infinie) ne vaut pas la somme des dérivées.
Notamment, si je ne me trompe pas, la dérivée de la somme n'existe pas, ce qui n'est pas le cas de la somme des dérivées. (on peut cependant contourner ceci par une petite subtilité et obtenir quelque chose de très fort)
A+

"Note que l'on a envie de dire que (somme de x^n)'=somme des (x^n)', parce que c'est vrai dans le cas où la somme est finie. C'est déjà moins clair si la somme est infinie et c'est d'ailleurs faux dans certains cas"

Pardon, bien sur c'est toujours vrai sur les ouverts où c'est défini.(c'est un corollaire du résultat que j'énonce, et qui n'a pas besoin d'un théorème si gros pour exister)

Je voulais dire que c'était
(somme de fn)'=somme des f'n
qui était faux dans le cas général.
Désolé, j'espère ne pas avoir créé de trouble.
A+