Bonjour
nZ est un idéal (principal) de  l'anneau Z engendré par l'élément n.
C'est tout betement l'ensemble {...,-2n,-n,0,n,2n,3n,...}

Lorsque l'on a un anneau commutatif A et un idéal I de A, on peut quotienter A par I: A/I est l'ensemble des classes de A modulo I.
Notamment la relation ici est tout betement la relation d'équivalence suivante:
a est équivalent à b ssi b-a est un élément de I.

En fait on as pas besoin de cette structure d'anneau pour créer des structures quotient, avec un groupe c'est possible si on quotiente par un sous groupe normal (ou distingué). La relation est la même. (mais notée multiplicativement comme le veut la coutume)

Si tu veux un exemple non trivial d'un quotientage, regarde celui ci:
Prend A l'ensemble des polynômes réels.
Prend I l'idéal principal de A engendré par le polynôme h=x²+1 (c'est à dire I=l'ensemble des polynômes multiple de h=x²+1)
Et considère le quotient A/I, tu vas trouver des trucs intéressants.
A+

En fait mes propos peuvent preter à confusion:
On peut toujours quotienter quelque soit A (anneau, groupe ou n'importe quoi), mais la structure qui en résulte n'est pas forcément intéressante.
C'est à cause de celà que sont nés les concepts d'idéaux notamment.

Merci beaucoup

Je vais essayer de regarder ton exemple d'un peu plus près.

Si je me souviens bien, c'est isomorphe à .

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Je suis nul en maths.

En fait c'est pas isomorphe à C, c'est C.
C'est pas trop compliqué à démontrer qu'il se comporte comme le C que l'on connait.

D'une manière générale, que dire de k[x]/(P) si k est un corps commutatif et que P est un polynôme irreductible de k[x], deg(P)>1 ?

Euhhh...
C'est l'ensemble ? :?

Quoi??

Ben, pour ton premier exemple, on a k= et P=x²+1 donc deg(P)=2 et la solution est bien ² soit.
Non?

Oula non ca ne marche absolument pas comme ca.
Le premier exemple n'est pas R²=C mais est bien C. (C'est la construction rigoureuse la plus typique de C)
Essaie de voir comment ca fonctionne avec la définition que je te donne d'un quotient.

Pourtant, un nombre complexe est bien un couple de nombres réel?
a+bi<->(a,b)
Pourquoi R² serait différent de C?

Bein parce que C est un corps et R² c'est l'ensemble des couples à coordonnées réelles.

Un corps n'est qu'un ensemble sur lequel on a définit une addition et une multiplication et possédant certaines propriétés.
On peut dire :
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')
(a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)
Et là R² devient un corps qui a les mêmes propriétés que C.

C'est sûrement faux mais pourquoi?

Non c'est juste, mais comment sais tu que ces opérations vont donner un corps?

Ben, on doit bien pouvoir montrer que ces deux lois sont commutatives, associatives, etc.
Et ca donnera un corps.

Oui mais pourquoi tu as choisis celles ci précisemment?

J'ai choisi celles ci car ce sont les mêmes que dans C.
Si l'on remplace (a,b) par a+bi, on retrouve C.
(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i
(a+bi)(a'+b'i)=aa'+ab'i+a'bi+bb'i²=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i

Bon alors comment définis tu C?

Je sais pas si c'est vraiment génial mais je dirais que c'est l'ensemble des solutions des polynômes à coefficients réels.

Et il peut aussi se définir comme l'ensemble des couples de réels.

Ca, ca ne marchera pas:

f:=(x,y)->(y,x)
est solution du polynôme
X²-1 par exemple, qui est un polynôme à coefficients dans R.

De plus, comment sais tu qu'il existe des solutions dans un surcorps de R, et qu'il n'y en a pas d'autres, et que le tout forme un corps?

Pour les couples réels ca marche, mais ca tombe du ciel, et on en revient au même problème:
Pourquoi définis tu ca ainsi?

C'est bien ce que je pensais, j'ai pas encore le niveau pour ce genre de problèmes.
Bon, je vais aller me coucher mais je reviendrai peut-être demain : "La nuit porte conseil"
Merci beaucoup pour toutes tes explications et bonne nuit otto

De rien, bonne nuit, a+