Bonjour à tous, j'aimerais comprendre pourquoi la notion de compacité est intrinsèque ? Si E,F sont des espaces topologiques séparés avec A sous-espace de E et A sous-espaces de F alors A compact dans E <=> A compact dans F.
Merci d'avance.
Merci de vos réponses : Soit X un espace topologique séparé. Alors Y est compact dans X si pour tout recouvrement de Y par des ouverts de Y, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Je m'embrouille en fait car quand on regarde la relative compacité, ce n'est plus intrinsèque, comme avec A=[0,1[ relativement compact dans mais pas dans lui même.
Soit X un topologique séparé .
Il est dit compact si on a la propriété R suivante :
pour toute famille (Ui)iI d'ouverts ( de X évidemment !) vérifiant
i
I Ui = X il existe une partie J de I qui soit finie et qui vérifie
j
J = X .
La notion de compacité est bien intrinsèque .
Si Y est une partie de X , muni de la topologie induite par celle de X , on dira donc qu'elle est compacte de la même façon . La seule chose à préciser c'est qu'il vaudra mieux dire " ouverts de Y " au lieu de ouvert tout court .
Ou alors dire qu'elle est compacte si on a (c'est équivalent) : pour toute famille (Ui)iI d'ouverts de X vérifiant
i
I Ui
Y il existe une partie J de I qui soit finie et qui vérifie
j
JUi
Y .
Si on dit que "A est un compact de X " il faut entendre " A est une partie de X qui munie de la topologie induite par celle de X est compacte "
Maintenant tu utilises l'expression " relativement compact dans.. " . Elle est prise par les topologistes pour qui A X est dit relativement compact dans X si son adhérence est compacte .
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