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Niveau Licence Maths 1e ann
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Notion de compacité intrinsèque

Posté par
Bunk
14-09-14 à 10:04

Bonjour à tous, j'aimerais comprendre pourquoi la notion de compacité est intrinsèque ? Si E,F sont des espaces topologiques séparés avec A sous-espace de E et A sous-espaces de F alors A compact dans E <=> A compact dans F.

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Notion de compacité intrinsèque 14-09-14 à 10:12

salut

quelle est ta définition de compact ?

Posté par
kybjm
re : Notion de compacité intrinsèque 14-09-14 à 10:12

Soit X est un espace topologique .
Quelle est la définition de " Y est un compact de X" ?

Posté par
Bunk
re : Notion de compacité intrinsèque 14-09-14 à 10:40

Merci de vos réponses :  Soit X un espace topologique séparé. Alors Y est compact dans X si pour tout recouvrement de Y par des ouverts de Y, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Posté par
Bunk
re : Notion de compacité intrinsèque 14-09-14 à 10:43

Je m'embrouille en fait car quand on regarde la relative compacité, ce n'est plus intrinsèque, comme avec A=[0,1[ relativement compact dans \mathbb{R} mais pas dans lui même.

Posté par
Bunk
re : Notion de compacité intrinsèque 19-09-14 à 23:18

Quelqu'un aurait une idée ?

Posté par
kybjm
re : Notion de compacité intrinsèque 20-09-14 à 10:34

Soit X  un topologique séparé .
Il est dit compact si on a la propriété R suivante :
   pour toute famille (Ui)iI d'ouverts ( de X évidemment !) vérifiant iI Ui = X  il existe une partie J de I qui soit finie et qui vérifie jJ = X .
La notion de compacité est bien intrinsèque .

Si Y est une partie de X , muni de la topologie induite par celle de X , on dira donc qu'elle est compacte de la même façon . La seule chose à préciser c'est qu'il vaudra mieux dire " ouverts de Y " au lieu de ouvert tout court .
Ou alors dire qu'elle est compacte si on a (c'est équivalent) :  pour toute famille (Ui)iI d'ouverts  de X  vérifiant iI Ui   Y  il existe une partie J de I qui soit finie et qui vérifie jJUi   Y .


Si on dit que "A est un compact de X " il faut entendre " A est une partie de X qui munie de la topologie induite par celle de X  est compacte "


Maintenant tu utilises l'expression " relativement compact dans.. " . Elle est prise par les topologistes pour qui  A X est dit relativement compact dans X si son adhérence est compacte .



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