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Notion de cours: Ker f
Bonjour, j'ai des problèmes avec la définition de Ker f. Je ne parviens pas du tout a savoir ce que c'est.
Pourriez-vous m'expliquer à quoi cela correspond svp?
Je viens de relire ton avant dernier topic : tu es dansles espaces vectoriels.
E et F deux espaces vectoriels sur un corps IK. Si f est une application linéaire de E vers F, on appelle noyau de f l'ensemble des x de E tels que f(x) = OF
Reprenons l'exemple de ton précédent topic : f((x,y)) = x + y.
Alors, Fer(f) est l'ensemble des (x,y) tels que x + y = 0
On a donc, y = -x.
Donc, Ker(f) = {(x,-x), x
IR}
Il est très important de savoir que Ker(f) est un sous-espace vectoriel de la source.
Ici, l'équation x + y = 0 est l'équation d'une droite vectorielle de IR²
D'accord merci beaucoup pour ton aide j'y vois déjà nettemment plus clair.
Juste une petite question pourquoi dans ta définition du noyau tu mets f(x)=0F
Pourquoi cet indice F ?
C'est pour dire que c'est le 0 de l'espace F .
Le 0 dépend de l'espace où tu es, par exemple dans les réels R , 0 c'est le nombre réel nul, dans R2 0 c'est le couple (0,0) et dans C= applications continues de R dans R , 0 c'est la fonction nulle.
J'aurais encore une petite question
On a Ker(f) = {(-x,x),x
}
Donc Ker(f) est différent de l'ensemble vide. Pourquoi peut-on dire alors que f n'est pas injective?
Enfin je m'exprime peut etre mal mais dans la suite de cet exemple on me demande de préciser le noyau et l'image de f. Puis de dire si l'application est injective. Pour le noyau tu viens de me l'expliquer avec Ker(f). Mais pour l'image et l'injectivité comment puis je m'y prendre?
J'ai du mal a me représenter Im(f)
Je n'arrive pas a concevoir ce que peut etre l'image d'une application
Le ker d'une application linéaire contient toujours 0 , il n'est jamais vide !
Maintenant l'intérêt du noyau c'est f injective si et seulement si ker f ={0} .
merci
pourrais tu m'expliquer pourquoi f est injective si et seulement si ker f = {0} car cela ne semble pas évident. A moins qu'il ne faille juste l'accepter.
Bonjour
Supposons a ≠ 0 ker(f). On a alors f(0) = f(a) = 0 et a ≠ 0, donc f n'est pas injective.
Réciproquement, supposons f non-injective. Il existe alors a et b tels que a ≠ b et f(a) = f(b). Alors on a b-a ≠ 0 et f(b-a) = f(b)-f(a) = 0. Donc ker(f) contient au moins 0 et b-a.
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