Bonjour Kernelpanic
Là, je n'ai pas trop le temps, mais tu peux chercher sur Internet les notions de section et rétraction concernant les fonctions inversible à droite ou inversible à gauche.
C'est également très bien expliqué chez Bourbaki dans son livre sur « théorie des ensembles »

Très bien jsvdb, merci de ta réponse, je vais regarder ces notions dès que je le peux

salut

bof ça se fait quasi directement !!!

que signifie "être régulière à gauche/droite ?"

Être inversible à gauche pour les surjections et à droite pour les injections.

Bonjour

Je crois qu'on dit qu'une loi sur est régulière à droite si



même si a n'est pas inversible à droite. (La multiplication de par exemple)

Rétraction = inverse à gauche quand f est injective

IdA = r • f

Section = inverse à droite quand f est surjective

IdB = f • r

Où f : A -> B

Ca, oui!

merci Camélia je connaissais et m'adressais au posteur ... et je pensais exactement à ce que tu écris ...

jsvdb : pédant !! surtout quand on s'adresse à un licence (quelle année au fait ?)

Bonjour,

désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, le site semblait lagguer chez moi (impossible d'accéder à une page autre que celle de l'accueil...).

Néanmoins pour répondre à carpediem, je suis en L2 et pour la définition j'aurais répondu exactement la même chose que Camélia.

Néanmoins, c'est plutôt "d'où partir" qui me dérange, et aussi de "quand employer l'hypothèse"...

En réalité, je viens à l'instant de trouver la solution qui était beaucoup plus simple que je ne le pensais. Merci à vous et bonne journée

et si tu nous montrais qu'on voit un peu ce que tu as dit ...

Voilà au moins 20min que j'essaye de publier ma réponse mais que le site ne veut pas (est-ce uniquement chez moi ou vous avez aussi certains problèmes ?).

Alors :

définissons g, g' : X X qui associe respectivement à un élement x g(x) et g'(x).

L'égalité g o f = g' o f est vraie si g et g' coïncident sur l'image de f, donc sur f(X) qui est inclus dans X.

Comme f est régulière à droite, cela signifie que g = g' pour tout élément de X, et que donc g et g' coïncident sur f(X). Ainsi f(X) = X et f est surjective.

Pensez-vous que cela est juste ? N'hésitez pas à me reprendre.

Ce n'est pas très convaincant. Suppose que n'est pas surjective et en utilisant un élément du complémentaire de construis deux applications différentes et telles que

Bonjour !
Problème de site : me too !

Pour ta démonstration fais un raisonnement par contradiction.
Prends une fonction non surjective et construis des fonctions distinctes telles que

Oh je vois mieux ! Je règle un souci et je reviens vers vous après avoir écrit ma démonstration si en cas de manque de rigueur, vous puissez y apporter quelques modifications. Merci en tout cas !

Supposons que f n'est pas surjective.

aX, bX, f(b) a.

On pose alors :

  

avec c a.

On peut remarquer que :

u o f = f, donc u o f = idX o f.

Or f est régulière à droite, donc u = idX.

Or par définition de u, u(a) = c. Mais u = idX, donc u(a) = a.
On a alors a = c, ce qui est contradictoire avec la définition de u qui associe à tout élément x différent de a x.
Contradiction.
f est surjective.

@Kernelpanic :
oui c'est bon mais tu te compliques la vie pour conclure car avec les valeurs en tu as , donc non régulière à droite.

Heu, je rappelle que l'énonce demande de vérifier que la régularité à gauche et à droite de l'anneau des endomorphismes de X. La fonction u doit être linéaire. Ce qui n'est pas beaucoup plus dur, mais bon.

Je ne résiste pas à donner une page de littérature bourbakiste à ce sujet.
Réf : Théorie des ensembles E.II p18 §8. Rétractions et sections

Proposition 8.

Soit f une application de A dans B.

1- S'il existe une application r de B dans A telle que soit l'application identique de A, alors f est injective.
2- S'il existe une application s de B dans A telle que soit l'application identique de B, alors f est surjective.

Réciproquement :

3- Si f est surjective, il existe une application s de B dans A telle que soit l'application identique de B.
4- Si f est injective et si , il existe une application r de B dans A telle que soit l'application identique de A.

Preuve :



1- Soit telle que .

L'égalité , où , entraîne et donc est injective.
__________________________________________________________________________________________________________

2- Soit telle que .

On a . Par suite et est surjective.
__________________________________________________________________________________________________________

3- On suppose que est surjective.

Désignons par T le terme : je le mets en vert car ce passage utilise l'opérateur "petit tau" de Hilbert qui n'est plus enseigné.

Traduction : Soit et désignons par un élément de .

Si on désigne par l'application est l'application identique de B.
__________________________________________________________________________________________________________

4- On suppose et injective.

Je mets en vert la partie très "bourbakiste" ...

Soit . La relation suivante :



entraîne et donc admet un graphe par rapport aux lettres x et y.

Ce graphe est fonctionnel en raison de l'hypothèse faite sur et a pour ensemble de définition B.

Enfin, on a : .

donc la fonction est telle que soit l'application identique de A.

... et j'explicite simplement la fabrication de la rétraction r :

On choisit donc un de façon totalement arbitraire. est construite de la façon suivante :

- Si y n'est pas dans l'image de f alors on pose

- Si y est dans l'image de f, comme f est injective, on pose où x est l'unique élément de A tel que .

On voit qu'en fait, les points de B qui ne sont pas dans l'image de f, on les envoie, par r, sur un point quelconque de A, qui, de toute façon ne jouera aucun rôle particulier.

Exemple : la fonction ,  est injective. On peut définir une rétraction r en posant :



Et on voit qu'une rétraction, quand elle existe n'est pas unique. On aurait pu prendre également :



Mais en général, on ne va pas jusque là, puisque la plupart du temps, pour les injections, on restreint l'ensemble d'arrivée à l'ensemble des images, si bien qu'une injection se transforme rapidement en une bijection.

Compléments :

Si f est injective et si r est une rétraction associée à f, alors f est une section associée à r. Donc une rétraction est surjective.
Si f est surjective et si s est une section associée à f, alors f est une rétraction associée à s. Donc une section est injective.

Si f est surjective et si s et s' sont deux sections associées à f telles que alors . Ainsi, une section est déterminée de manière unique par l'ensemble s(B). Vérifiez sur la fonction qui est surjective.

Bonjour jsvdb
Il joue petit bras ton Bourbaki : pas besoin d'avoir l'identité !

Si est injective alors est injective.
Si est surjective alors est surjective.

@Kernelpanic :
Poncargues a raison, tu dois trouver des exemples où sont linéaires...

Bonjour luzak.
Je ne comprends pas ta remarque 🤔

D'accord, j'ai pigé.
Bien sur que injective implique f injective.
Mais la question n'est pas là. Il s'agit de montrer que f injective ssi il existe r tel que r o f = IdA.

Maintenant, pour le fil initial et compte tenu de ce théorème, pour f endomorphisme donné dans X, peut-on trouver un inverse à gauche qui soit un endomorphisme ?

On peut trouver un inverse à gauche, oui, et peut-on en construire un qui soit linéaire ?

La réponse qui peut venir de suite à l'esprit est : tous les points qui sont dans E et pas dans Im(f), on les envoie sur 0, pour les autres, il suffit de prendre "l'inverse" classique de f. Mais est-ce-que ça marche .... pas sûr ... !

Déjà, en dimension, finie, c'est réglé, f injective signifie f bijective donc f est déjà automatiquement régulière.

Donc, la question ne se pose réellement qu'en dimension infinie.

Prenons par exemple (le classique !) le décalage à droite d'une suite réelle. C'est un endomorphisme injectif de l'ensemble des suites réelles.

Peut-on lui trouver une rétraction linéaire ?

Soit u une suite réelle. on désigne par d(u) le décalage à droite de si sinon

Essayons avec telle que . Autrement dit, une rétraction linéaire du décalage à droite sera le décalage à gauche. Ce qui est logique puisqu'on a dit qu'une rétraction devait nécessairement être surjective.

Reste à finaliser en toute généralité

Dans tes énoncés 1 et 2 tu ne parles pas de "si et seulement si"...

......................................................................
Le problème n'est pas de trouver un inverse pour mais de montrer :
Si n'est pas surjective elle n'est pas régulière à droite.
Il suffit donc de trouver deux applications linéaires distinctes telles que .
Soit un supplémentaire de , la restriction de à est un isomorphisme de sur .
L'image n'étant pas tout l'espace il existe un supplémentaire de distinct de .

Il est alors possible de trouver deux applications  linéaires distinctes de source .
On considère les recollements (à savoir une application linéaire définie par ses restrictions à deux supplémentaires) :



Alors on a bien .

Bien entendu il faut lire (deux fois !).

> jsvdb Tu as mis le doigt dessus! On utilise l'existence de bases en dimension quelconque, ce qui est kif-kif axiome du choix! Bien sur en dimension finie, pas de problème.

J'ai bien une petite idée, histoire de démarrer :

Sur E on considère une première relation d'équivalence R1 telle que x R1 y ssi x et y sont colinéaires.

L'espace quotient est E' l'ensemble des droites vectorielles de E.

On a une première injection canonique i : E E'.

Sur E' on considère une seconde relation d'équivalence R2 telle que d R2 d' ssi f(d) = f(d')

L'espace quotient est donc E'' formé des paquets de droites vectorielles qui ont une unique image globale par f.

On a une seconde injection canonique i' : E' E''.

A finaliser, car là j'ai plus trop de temps donc ce qui suit est intuitif :

si , l'ensemble noté intuitivement f(D) est une seule droite de E.

Par surjectivité de f, l'ensemble des f(D) pour D parcourant E'' est une partition de E (en tant qu'espace de départ) en droites vectorielles.

Donc, pour chacune de ces droites vectorielles, on peut en choisir une dans l'espace E'...

Je dois aller chercher les enfants .... A suivre ... sauf s'il y a plus simple.... et ça m'étonnerait pas que ce soit le cas.

Ta construction est bancale, tu es obligée d'enlever 0 de ton espace pour quotienter par la relation de colinéarité. Enfin tu n'es pas obligé, mais si tu ne le fais pas, tu obtiens un unique point.

La preuve est tres simple, si est une application surjective ensembliste entre deux ensembles S et T donc, alors par l'axiome du choix il existe tel que .
Du coup les applications f_* et g_* de déduites de verifient .
Maintenant si est une application linéaire surjective il existe deux ensembles et une application surjective tel que l'on ait un carré commutatif

où les fleches verticales sont des isomorphismes.
L'existence d'une section à la fleche du haut donne celle de la fleche du bas.

Oubliez, j'ai fait ça dans la précipitation ...
La première relation d'équivalence aurait dû être quelque chose comme

@Poncargues : c'est quoi ?

J'imagine également que doit désigner l'ensemble des combinaisons linéaires formelles à coeff dans d'éléments de B.
Donc on va dire que k est un module sur lui-même ...

soit f surjective de X dans X

on veut donc montrer que si  u et v sont deux endomorphismes de X alors :  u o f = v o f => u = v

pour tout y de X il existe donc x de X tel que f(x) = y

donc pour tout y de X : u(y) = u o f(x) = v o f(x) = v(y)


ce me semble-t-il ...

Bonsoir à tous,

je ne pensais pas que le topic allait se porter aussi bien. Pour ce qui est de vos remarques justifiées, il est vrai que j'ai complétement oublié la partie de l'énoncé qui parlait des endomorphismes. J'ai pu recevoir une correction en cours que je n'ai clairement pas comprise, je vais revoir mon professeur bientôt pour qu'il me l'explique plus en détails. Je vous tiens au courant.

En tout cas merci à vous et bonne soirée.

Quelques précisions vis à vis des diverses réponses.

La preuve de carpediem est bien sur suffisante pour prouver le resultat de l'énoncé. Mais ca n'etait pas la question de jsvdb, qui voulait prouver qqch de plus fort à savoir l'existence d'une section pour un endomorphisme surjectif.

Il est clair que l'existence d'un section implique trivialement la propriété, et se construit comme je l'ai indiqué par exemple, mais qui avait deja été indiqué par Camélia. On prend une base de l'arrivée et on prend une preimage de chaque élément de la base de l'arrivée dans l'espace de depart et on étend par linéarité.

Finalement le point est toujours le meme c'est qu'une surjection ensembliste à une section ensembliste. Et ceci utilise l'axiome du choix. Que l'on a utilisé sans le dire dans le parapgraphe précédent (on prend une preimage de chaque element de la base...).

On peut d'ailleurs utiliser directement l'axiome du choix, ou plutot le lemme d Zorn (c'est un bon exercice pour le manipuler), en construisant directement une section avec lui. On regarde la famille des (W, g) ou W est un sous espace de l'arrivée et g est tel que fog=inc_W ou inc_W est l'inclusion de W dans l'espace d'arrivé, ordonné comme on pense.
Cette famille est non vide, inductive, et un element maximal, donné par Zorn, est nécéssairment de la forme (X,g).

Maintenant, la surjectivité, le fait d'etre un epimorphisme (i.e simplifiable à droite, ou dit de manière catégoriste, d'être injectif sur les S-points) ou un epimorphisme scindé i.e  admettre une section, sont trois notions différentes en general.

Un epimorphisme n'a pas nécéssairement une section comme on peut voir par exemple pour Z/4 ->Z/2.
Dans une catégorie ensembliste i.e qui admet un foncteur fidèle vers ENS, un morphisme surjectif est nécessairement épi (la preuve de carpediem fonctionne), mais il existe des epi non surjectifs, e.g  l'injection de Z dans Q dans la catégorie des anneaux. Ce dernier est un épi, non scindé, et non surjectif.

Dans la catégorie des ensembles, epi, epi scindé, et surjectif sont 3 notions qui coincident (par l'axiome du choix pour epi scindé et les deux autres).

Il va de soi que ces remarques ne sont pas destinés à l'OP qui peut se contenter de la preuve indiquée par camelia par exemple (au detail pres qu'il faut considerer un supplémentaire, et non le complementaire de l'image), ou celle de carpediem.
Néanmoins savoir qu'une application linéaire surjective (resp injective) admet une section ( sous entendue linéaire) (resp. une retraction) n'est pas idiot, et meme tres utile en pratique.
Exemple, montrer que le transposé d'un endomorphisme surjectif (resp. injectif) est injectif (resp. surjectif) et ce sans restriction de dimension.

@jsvdb k est le corps de base tout simplement. est le k-espace vectoriel dont une base est indexée par les éléments de B. Tu peux le construire comme l'ensemble des fonctions de B dans k qui sont nulles sauf sur un nombre fini d'éléments. En identifiant b et la fonction qui vaut 1 en b et 0 ailleurs, une base de ce truc est donnée par B.