Bonjour,
J'ai et j'ai un sous-groupe
de
d'indice
.
J'ai noté l'ensemble des classes à gauche modulo
. Si je prends
un système de représentants, alors
j'ai
. On peut d'autre part supposer que
et que
.
Je construit ensuite une action de sur
qui à tout
associe
, où
est définie par
Mon but est de montrer que le morphisme de
dans
qui à tout
associe
est injectif, autrement dit que le noyau de mon action de groupe est trivial.
Mais voilà, tout ce que j'obtiens en prenant , ce sont des résultats sur les classes modulo
:
j'ai (
. Je peux en déduire en particulier que
, donc que
est dans la même classe que
, mais je ne parviens pas à montrer que
. Pouvez-vous me venir en aide ?
Merci d'avance.
Et si tu utilisais le fait que est simple pour
, et que le noyau d'une action de groupe, comme le noyau de n'importe quel morphisme, est un sous-groupe distingué ?
Epic fail ! Je savais que c'était une connerie et que je bataillais pour rien. Enfin, le fait que est simple n'est pas un résultat anodin, mais c'est la première chose à laquelle j'ai pensé en charchant l'exercice, et après, complètement zappé. Merci de m'avoir débloqué !
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