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Noyau d'une action de groupe

Posté par
Jau
24-11-12 à 11:11

Bonjour,

J'ai n \ge 5 et j'ai un sous-groupe H de \mathfrak{A}_n d'indice m \ge 2.
J'ai noté X = \{x_1,...,x_m\} l'ensemble des classes à gauche modulo H. Si je prends S = \{\tau_1,...,\tau_m\} un système de représentants, alors \forall i j'ai x_i = \tau_iH = \{\tau_i \circ s_H, s_H \in H\}. On peut d'autre part supposer que x_1 = H et que \tau_1 = Id_{\mathfrak{A}_n}.
Je construit ensuite une action de \mathfrak{A}_n sur X qui à tout (\sigma,x_i) \in \mathfrak{A}_n \times X associe T_\sigma(x_i), où T_\sigma \in \mathfrak{G}(X) est définie par T_\sigma(x_i) = (\sigma \circ \tau_i)H
Mon but est de montrer que le morphisme T de \mathfrak{A}_n dans \mathfrak{G}(X) qui à tout \sigma associe T_\sigma est injectif, autrement dit que le noyau de mon action de groupe est trivial.
Mais voilà, tout ce que j'obtiens en prenant \sigma \in Ker(T), ce sont des résultats sur les classes modulo H : \forall i j'ai (\sigma \circ \tau_i)H = \tau_iH. Je peux en déduire en particulier que \sigma \in H, donc que \sigma est dans la même classe que Id_{\mathfrak{A}_n}, mais je ne parviens pas à montrer que \sigma = Id_{\mathfrak{A}_n}. Pouvez-vous me venir en aide ?
Merci d'avance.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Noyau d'une action de groupe 24-11-12 à 11:26

Et si tu utilisais le fait que \mathfrak{A}_n est simple pour n\geq 5, et que le noyau d'une action de groupe, comme le noyau de n'importe quel morphisme, est un sous-groupe distingué ?

Posté par
Jau
re : Noyau d'une action de groupe 24-11-12 à 16:10

Epic fail ! Je savais que c'était une connerie et que je bataillais pour rien. Enfin, le fait que \mathfrak{A}_n est simple n'est pas un résultat anodin, mais c'est la première chose à laquelle j'ai pensé en charchant l'exercice, et après, complètement zappé. Merci de m'avoir débloqué !

Posté par
GaBuZoMeu
re : Noyau d'une action de groupe 24-11-12 à 16:17

Avec plaisir.



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