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Noyau et applications linéaires

Posté par
martizic
12-03-23 à 12:59

Bonjour,
Je dois calculer le noyau et preciser si l'application est injective ou non. A chaque fois le noyau sera exprimé sous forme de VECT.

1)
f : \begin{cases} R^{4} & \rightarrow R \\ (x, y, x, t) & \rightarrow (x-y+z-t) \end{cases}

Ce que j'ai fait :
On sait que u appartient à Ker(f) \Leftrightarrow f(u) = 0

Donc,
x - y + z - t = 0

\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 y - 1 z + 1 t \\ y = 1 y + 0 z + 0 t \\ z = 0 y + 1 z + 0 t \\ t = 0y + 0z + 1t \end{cases} \Leftrightarrow VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1))

Donc, Ker(f) = VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1))
Or, VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)) \neq \vec{0} donc l'application n'est pas injective.

Est-ce juste? Peut-on exprimer le VECT plus facilement?

Merci de votre aide

Posté par
carpediem
re : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 13:07

salut

oui

non

PS : on a immédiatement que f(1, 1, 1, 1) = f(0, 0, 0, 0) = 0 donc f n'est pas injective ...

Posté par
martizic
re : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:01

Ok merci !

Donc, cette fois-ci pour :

f= \begin{cases} R^3 \rightarrow R^3 \\ (x, y, z) \rightarrow (x + y + z, x + y, x) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x +y+z=0 \\ x+y=0 \\ x=0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z = 0 \\ y = 0 \\ x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow VECT(0,0,0) = \vec{0}

donc Ker(f) = VECT(0,0,0) et l'application est injective.

Est-ce juste?

Posté par
martizic
re : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:10

Et dernier,

pour le 3 :

f = \begin{cases} R^3 \rightarrow R^2\\ (x, y, z) \rightarrow (x + y + z, x + y - z) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y+z = 0 \\ x+ y -z =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z + x + y = 0\\ 2x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -y \\ z - y + y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1y\\ y = 1y\\ z = 0y \end{cases} \Leftrightarrow VECT(-1,1,0) \neq \vec{0}

Je suis beaucoup moins sur de celui-ci...

Posté par
carpediem
re : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:41

c'est bon ...

mais la résolution est maladroite voire fausse pour le dernier car tu as perdu z en cours de route :

x + y + z = 0       x + y = 0     y = -x
x + y - z = 0        z = 0             z = 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Noyau et applications linéaires 13-03-23 à 12:01

Bonjour,
z ne me semble pas perdu dans le dernier système :
\begin{cases} x = -1y\\ y = 1y\\ z = 0y \end{cases}

Posté par
carpediem
re : Noyau et applications linéaires 13-03-23 à 22:25

ha oui pardon : je ne l'avais pas vu dans le deuxième système (après la première équivalence)



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