Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Prepa intégrée AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa intégrée
Partager :

Noyau et applications linéaires

Posté par
martizic 12-03-23 à 12:59

Bonjour,
Je dois calculer le noyau et preciser si l'application est injective ou non. A chaque fois le noyau sera exprimé sous forme de VECT.

1)
f : \begin{cases} R^{4} & \rightarrow R \\ (x, y, x, t) & \rightarrow (x-y+z-t) \end{cases}

Ce que j'ai fait :
On sait que u appartient à Ker(f) \Leftrightarrow f(u) = 0

Donc,
x - y + z - t = 0

\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 y - 1 z + 1 t \\ y = 1 y + 0 z + 0 t \\ z = 0 y + 1 z + 0 t \\ t = 0y + 0z + 1t \end{cases} \Leftrightarrow VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1))

Donc, Ker(f) = VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1))
Or, VECT((1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)) \neq \vec{0} donc l'application n'est pas injective.

Est-ce juste? Peut-on exprimer le VECT plus facilement?

Merci de votre aide

Posté par
carpediemre : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 13:07

salut

oui

non

PS : on a immédiatement que f(1, 1, 1, 1) = f(0, 0, 0, 0) = 0 donc f n'est pas injective ...

Posté par
martizicre : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:01

Ok merci !

Donc, cette fois-ci pour :

f= \begin{cases} R^3 \rightarrow R^3 \\ (x, y, z) \rightarrow (x + y + z, x + y, x) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x +y+z=0 \\ x+y=0 \\ x=0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z = 0 \\ y = 0 \\ x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow VECT(0,0,0) = \vec{0}

donc Ker(f) = VECT(0,0,0) et l'application est injective.

Est-ce juste?

Posté par
martizicre : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:10

Et dernier,

pour le 3 :

f = \begin{cases} R^3 \rightarrow R^2\\ (x, y, z) \rightarrow (x + y + z, x + y - z) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y+z = 0 \\ x+ y -z =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z + x + y = 0\\ 2x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -y \\ z - y + y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1y\\ y = 1y\\ z = 0y \end{cases} \Leftrightarrow VECT(-1,1,0) \neq \vec{0}

Je suis beaucoup moins sur de celui-ci...

Posté par
carpediemre : Noyau et applications linéaires 12-03-23 à 15:41

c'est bon ...

mais la résolution est maladroite voire fausse pour le dernier car tu as perdu z en cours de route :

x + y + z = 0       x + y = 0     y = -x
x + y - z = 0        z = 0             z = 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Noyau et applications linéaires 13-03-23 à 12:01

Bonjour,
z ne me semble pas perdu dans le dernier système :
\begin{cases} x = -1y\\ y = 1y\\ z = 0y \end{cases}

Posté par
carpediemre : Noyau et applications linéaires 13-03-23 à 22:25

ha oui pardon : je ne l'avais pas vu dans le deuxième système (après la première équivalence)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !