J'ai peut être réussi pour l'implication dans l'autre sens mais je n'en suis pas sure non plus :

Supposons Ker f = Ker f²

soit x Ker f²= Ker f(f)
il existe y Ker fIm f tel que y = f(x) = x = 0

du coup on aurait bien Ker fIm f = 0
mais j'ai l'impression qu'il me manque une étape du raisonnement...

Tu remarqueras que, si l'on a , alors , de sorte que l'on a toujours .

Supposons que l'on ait , c'est-à-dire . Soit quelconque fixé dans . Alors, d'une part il existe dans tel que , d'autre part . Finalement, en vertu de notre hypothèse, de , l'on déduit que . D'où la première implication.

A +

Merci !

Inversement, supposons que l'on ait . Soit quelconque dans , de sorte que . L'on constate alors que est dans , c'est-à-dire est tel que en vertu de notre hypothèse. Finalement, l'on a bien que est dans et donc . D'où le résultat attendu.

A +

et pour la deuxième implication ? il ne manque pas quelque chose ?

C'est bon, je crois que j'ai réussi à tout remettre dans l'ordre

j'ai le meme type de raisonnement à faire pour Im f = Im f² E = Ker f + Im f
( sachant que f l'ensemble des applications linéraires de E )

Si on suppose que E = Ker f + Im f
soit x Ker f + Im f

alors x Im f
donc il existe y tel que y = f(x) et y Im f²

mais aussi x Ker f
et il existe y' tel que y' = f(x) et y' Im f

donc Im f = Im f²

est ce que ca se tient ?

(sachant que f appartient à l'ensemble des applications linéraires de E , désolée )

et puis pour l'autre sens je suis totalement bloquée :

je suppose Im f = Im f²
donc Im f Im f² et Im f²Im f

Soit y Im f²
alors il existe x tel que  y = f(x)
et je ne sais pas aller plus loin ...

Supposons , de sorte que l'on a . En vertu du théorème du rang, l'on a et, d'autre part, . Autrement dit, l'on trouve que , ce qui, avec , nous donne . Finalement, d'après l'exercice précédent, il a été établi que , de sorte que .

Réciproquement, ... Je te laisse démontrer le résultat !

A +

Oui ! Excusez moi

pour démontrer l'equivalence dans l'autre sens, on suppose E = Ker f Im f

du coup Ker f Im f = {0}

on a donc Ker f = Ker f²

et dim E = dim Ker f + dim Im f = dim Ker f² + dim Im f²

et du coup on obtient dim Im f = dim Im f² !

Merci beaucoup ! et Désolée de ne plus avoir répondu !