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Noyau et Image d'une application linéaire

Posté par
Edison
20-05-18 à 12:38

Bonjour j'aimerai avoir une petite explication s'il vous plaît.

Tout d'abord pour se mettre dans le contexte :

Soit f:E\rightarrow F une application linéaire ou E et F sont 2 espaces vectoriels.

Imf = \left\{y\in F   \exists x\in E, y=f(x)\right\} = \left\{f(x)/ x\in E\right\}

Autrement dit Imf est l'ensemble des éléments appartenant à F ayant au moins un antécédent.

Kerf = \left\{x\in E / f(x)=0\right\}

Autrement dit Kerf est l'ensemble des éléments appartenant à E ayant pour image 0.

On sait que :

1) Imf = F \Rightarrow f  est  surjective

 \\ 2) Kerf=\left\{0_{E}\right\} \Rightarrow f  est  injective

Ma question c'est :

Je suis d'accord avec la propriété 1 car si Imf = F tout entier alors tous les éléments de F ont au moins un antécédent donc l'application est soit bijective (et donc surjective) soit uniquement surjective.

Néanmoins j'ai du mal à comprendre la propriété 2. En effet si Kerf est égal au singleton 0 en quoi cela implique que l'application soit injective ? Regardez l'image que j'ai inséré, on a bien Kerf=\left\{0_{E}\right\} mais l'application n'est pas injective pour autant...

Merci d'avance pour vos réponses!

Noyau et Image d\'une application linéaire

Posté par
jsvdb
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 13:01

Bonjour Edison
La linéarité de f entre en jeu de façon fondamentale.
f(x) = f(y) donne f(x-y)=0 d'ou x = y puisque le noyau est réduit à {0}

Posté par
Edison
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 13:22

Ah effectivement merci beaucoup!

Posté par
Edison
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 15:02

Dans ce cas dans une application linéaire, deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image c'est bien ça ?

Posté par
Edison
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 15:38

Edison @ 20-05-2018 à 15:02

Dans ce cas dans une application linéaire, deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image c'est bien ça ?


Ou plutôt que dans une application linéaire f:E---->F , deux éléments distincts de E ne peuvent pas avoir la même image si ce n'est 0_{F} ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 15:46

Bonjour

Qu'est-ce que tu racontes? Prends f:\R^2\to\R^2 définie par f(x,y)=(x,0) et regarde bien le noyau et les éléments qui ont la même image!

Posté par
lafol Moderateur
re : Noyau et Image d'une application linéaire 20-05-18 à 22:56

bonjour

Edison @ 20-05-2018 à 15:02

Dans ce cas dans une application linéaire, deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image c'est bien ça ?


si, ils peuvent avoir la même image, dès que leur différence est dans Ker f

Posté par
Edison
re : Noyau et Image d'une application linéaire 26-05-18 à 10:53

Ah merci beaucoup !



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