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Noyau et image d'une matrice
Bonsoir,
J'ai un conflit de détermination d'un noyau et d'une image d'un endomorphisme lorsqu'on m'en donne la matrice. Je pense bien à résoudre un système linéaire pour trouver le noyaux, mais dans le cas qui me préoccupe, je ne pas pas d'issue possible. Et n'y a-t-il pas un moyen plus simple, plus théorique pour le faire? Même question pour l'image d'ailleurs.
Voici ma matrice :
U = (x1.x1 x2.x1 ----- xn.x1)
(x1.x2 x2.x2 ----- xn.x2)
( | | ----- | )
(x1.xn x2.xn ----- xn.xn)
Si quelqu'un pouvait m'expliquer la bonne démarche à suivre ainsi que me donner une idée du résultat, je lui en serais très reconnaissant!
Bonjour, Taupin95
Ta matrice U est de rang 1. Toutes les colonnes de U sont colinéaires à la colonne de coordonnées (x1,...,xn). Cela donne l'image qui est la droite de base le vecteur colonne donné précédemment.
Par le théorème du rang, le noyau de U est de dimension n-1. C'est l'hyperplan d'équation:
Merci bien pour ton aide Perroquet !
Mais, l'hyperplan et la droite ne seraient-ils pas par hasard orthogonaux? Si c'est bien le cas, quel est le meilleur moyen de le démontrer?
Mais, l'hyperplan et la droite ne seraient-ils pas par hasard orthogonaux
Si, car la matrice etant symetrique, les sous espaces propres sont orthogonaux.
C'est exact, ils sont orthogonaux (si les coefficients x_i sont réels).
Pour le démontrer:
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux (résultat du cours de Spé). La matrice A que tu étudies est symétrique réelle, et un de ses sous-espaces propres est ker(A) qui est de dimension n-1. Le deuxième sous-espace propre est donc obligatoirement l'orthogonal du noyau de A (et est inclus dans l'image de A). L'orthogonal du noyau de A et l'image de A sont inclus dans l'autre et ont même dimension. Ils sont donc égaux.
Une autre manière de démontrer que le rang de la matrice est 1 est de constater qu'elle s'écrit U.tU ou U est le vecteur colonne (x1....xn)
Comme U et tU sont de rang 1 chacune et que rg(A.B)<= inf(rgA;rgB), on a que rg M <=1. S'il y a un xi non nul, le rang est 1.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable
Très important, et que j'avais oublié de vérifier.
Si les coefficients sont complexes, le raisonnement conduisant à l'orthogonalité n'est plus vrai.
Merci pour votre aide, mais j'ai néanmoins un souci : vos résultats font appel au cours de spé, alors que je ne suis qu'en sup... Y-a-t-il un autre moyen d'aboutir au même résultat en passant par des résultats que je suis susceptible de connaître?
Je suis désolé de vous embêter avec ça, mais ça m'intéresse vivement de savoir si je suis en mesure de le faire.
Merci encore pour vos conseils.
Bonjour
Soit un vecteur V (t1....tn) élément de Ker u.
En écrivant que U.V = 0, le système te donne (en mettant xi en facteur à chaque ligne):
Comme au moins un des xi est non nul, on retrouve le résultat de perroquet:
le noyau de U est de dimension n-1. C'est l'hyperplan d'équation:
Si tu appelles A le vecteur colonne (x1....xn)dont on a dit qu'il dirige Im(u), l'equation de Ker u, c'est à dire:
OK?
Maladresse de notation:
Soit un vecteur V (t1....tn) élément de Ker u.
En écrivant que U.V = 0, le système te donne (en mettant xk en facteur à chaque ligne):
Comme au moins un des xk est non nul, on retrouve le résultat de perroquet:
etc...
une autre facon de dire tous sa (plus simplement je trouve...)
si on note U le vecteur de coordoné (x1..xn)
alors l'application associé a ta matrice est l'application f(x)=(x|u)u
ou (x|u) désigne le produit scalaire usuelle. (il suffit de vérifié sa avec la base canonique par exemple)
a partir de la tous est evident :
l'image de f, c'est vect(u), et le noyaux de f c'est l'orthogonal de u.
ça y est, j'ai tout bien compris !
Merci à vous tous ! 
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