Bonjour,
(x,y,x) peut-il s'écrire comme combinaison linéaire de tes deux vecteurs ?

Bonjour,

le noyau n'est pas bon, tu as oublié que y = 0.

Bonjour Sylvieg, je n'avais pas vu ta réponse ! Je dois m'en aller de toute façon, je te laisse le sujet .

Bonne journée à vous deux.

Oups
Mais oui, il faut travailler à partir de y = 0 et z =x.
Donc oublier mon message de 11h01.

Bonjour,

Tu es sur que le vecteur u=(0,1,0) est dans le noyau?
Si tu multiplies M par le vecteur colonne de u, cela donne quoi?

Merci

Donc si y=0 et x=z

Ker(f)={(x,0,x),x R}=Vect((1,0,1))
(1,0,1) est libre car constituée d'un seul vecteur
Je ne sais toujours pas si c'est générateur du coup :/

Rintaro avait déjà commencé à t'apporter de l'aide, desolé pour la confusion. Je le laisse poursuivre.

Merci

Je repose ma question rectifiée :
(x,0,x) peut-il s'écrire comme combinaison linéaire de (1,0,1) ?

A partir du moment où tu as écrit Ker(f)=Vect((1,0,1)), le vecteur (1,0,1) engendre Ker(f).

Pourquoi ce "?" derrière ton égalité ?

(x,0,x)= x(1,0,1).

Donc c'est bien Ker(f)={(x,0,x),x€R}=Vect((1,0,1))

Donc on a d'après le théorème du rang : rg(M)=2

Comme ne sont pas colinéaires,
1.(1,0,0)+0.(0,1,0)-2.(0,0,1)=(1,0,-2) et 2.(1,0,0)-1.(0,1,0)+0.(0,0,1)=(2,-1,0) forment une base de Im(M) donc Ker(f)=Vect((1,0,-2),(2,-1,0))

T'es en train de tout mélanger là et tu fais les choses à l'envers.

La dimension de l'image se lit directement sur la matrice, c'est celle du sev engendré par ses colonnes.
Clairement la première et la troisième sont proportionnelles, et linéairement indépendantes de celle du milieu.

Ca veut donc dire que rg(M) = 2 et par le théorème du rang _{^{(c'est ici qu'on l'utilise pour qu'il server à quelque chose, sinon c'est correct mais n'apporte rien du tout)}}, que dim ker(M) = 1.

Donc une base du noyau est constituée de n'importe quel élément non nul de ton choix appartenant à ker(M).

Bonsoir Ulmiere,
Je ne crois pas que crackito34 mélange tout.
Il y a une coquille dans son dernier message : Ker au lieu de Im.

salut

oui c'est exact ...

remarque :

en notant (i, j, k) la base dans laquelle est écrite la matrice de f alors on voit que :

f(k) = - f(i) donc que f(i + k) = 0 donc ker f contient vec (1, 0, 1)

f(i) et f(j) sont linéairement indépendants (non colinéaires donc) puisque leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles

donc Im f contient vec (f(i), f(j))

et d'après le théorème du rang 1 + 2 = 3

donc Ker f = vec (1, 0, 1) et Im f = vec (f(i), f(j))

Un peu d'humour :

Bonjour
ça m'étonne toujours que des étudiants demandent " je n'arrive pas à savoir si la famille A est génératrice de F" alors qu'ils viennent d'écrire que F= Vect(A) !
F = Vect(A), ça se lit pourtant "F est l'espace vectoriel engendré par la famille A"... (et pas l'horrible "F égale vekt(e) de A")

un peu comme s'ils venaient dire : je viens de montrer que la souris est chassée par le chat, mais je n'arrive pas à voir si le chat est chasseur de la souris ?

Peut-être à cause des nombreuses fois en mathématiques où ça leur semble faux, à cause d'un détail qui traîne. Mine de rien, beaucoup de choses les embrouillent facilement.

Par exemple, si est une base hilbertienne, on n'a pas puisque n'est pas un base au sens algébrique du terme (de Hamel). Pourtant on utilise pour les deux le mot "base", ce qui peut être source de confusion.

Autre exemple : Si est la fonction sinus cardinal, on écrira souvent que et pourtant c'est faux, puisque 1 n'appartient qu'à l'image du prolongement par continuité de f, et non à celle de f

Ou encore, on rebat les oreilles des lycéens en leur expliquant que si la dérivée s'annule c'est qu'on a une tangente horizontale, puis quand ils arrivent dans le sup, ils calculent le gradient pour une paramétrisation du cercle unité et voient qu'il ne s'annule pas (0,1) malgré le plat.
On leur fait apprendre le théorème des accroissements finis, et ensuite on leur explique que ça marche plus en dimension supérieure et qu'il faut se rabattre sur l'inégalité des accroissements finis.
On leur explique pendant 15 ans que le produit vectoriel de deux vecteurs de est un vecteur orthogonal blablabla et un jour ils font de l'algèbre extérieure et se retrouvent avec un bivecteur à la place et manipulent des objets dont le carré extérieur semble non nul.


En fait, à force de tomber sur des os comme ça (qui ne sont en fait que la conséquence d'une hypothèse essentielle non satisfaite), ils finissent par développer une méfiance excessive et renier leur propre sens commun.
J'ai déjà eu en kholle des étudiants en tout début de sup qui, pour montrer qu'un morphisme est injectif, voulaient absolument montrer que alors qu'il aurait été plus simple et plus clair de prendre y = 0.
Même en master, j'ai vu des gens qui re-démontraient plus ou moins le lemme de classe monotone au lieu de prendre le risque de se tromper et de simplement affirmer que telle chose est vraie sur tel pi-système donc sur la tribu entière.