Inscription / Connexion Nouveau Sujet
noyau fermé d'une forme linéaire continue
Bonsoir à toutes et à tous et en particulier aux amateurs d'espaces vectoriels normés (
) . J'ai quelques soucis avec un exercice du chapitre...espace vectoriels normés (
).Voici l'énoncé:
Soit E un espace vectoriel normé et f est une forme linéaire sur E. Montrer que f est continue si et seulement si ker(f) est fermé.
Pour l'un des deux sens, ça va: si f est continue, alors ker(f) est un fermé comme image réciproque d'un fermé (le singleton 0) par f.
Maintenant, pour la réciproque, je n'arrive à rien. J'ai essayé un raisonnement par contraposée, c'est à dire qu'on suppose que f est non continue et on montre que ker(f) n'est pas fermé, c'est à dire que ker(f) est différent de son adhérance, c'est à dire qu'on peut trouver un élément de l'adhérance qui ne soit pas dans ker(f). Mais je tourne en rond et surtout, je ne vois pas comment me servir du fait que f est une forme linéaire 
Je vous remercie de m'aider!
Salut,
caractérisation séquentielle : si ker(f) n'est pas fermé on peut trouver une suite d'éléments de ker(f) qui ne converge pas vers un élément de ker(f)...
Bonsoir trianglarido!
Tu me proposes de partir de ker(f) non fermé.... je ne vois pas à quoi ça peut me mener, puisqu'il me semble qu'en raisonnant ainsi, on montre que f n'est pas continue, ce qui est équivalent à montrer que
f continue implique ker(f) fermé... or ce sens, je l'ai déja.
Bonsoir Nightmare!
pourrais tu préciser plus s'il te plait 
vu que ça fait un certain temps que je tourne en rond, je n'ai plus les idées très claires . Mais il me semble que f est continue est équivalent à f bornée sur la boule unité... ça ne fait rien si on considère une boule autre que la boule unité, comme la boule de centre 0 et de rauon d(a, ker(f))?
Merci à tous deux d'avoir répondu!
Tu peux aussi montrer par des arguments non topologiques que si la forme linéaire est discontinue alors son noyau est dense.
Encore merci Nightmare! J'arrive à finir l'xo avec la méthode de la boule. Ceci dit, je ne vois vraiment pas comment montrer la densité..
Me permettrais tu d'abuser encore un peu de ta gentillesse en te demandant des pistes 
?
Merci!
L'idée est simple, il suffit de montrer que le noyau coupe n'importe quelle boule.
L'image par notre application d'une boule centrée en l'origine est K tout entier et on conclut par translation et homothétie.
L'image par notre application d'une boule centrée en l'origine est K tout entier
je ne comprends pas cette phrase
Le résultat est plutôt intuitif car, l'adhérence du noyau est de codimension au plus 1. Et c'est exactement 1 dans le cas fermé. On "imagine" donc que dans le cas non fermé l'adhérence est encore plus grosse, c'est-à-dire tout l'espace.
(Pour tout à l'heure, effectivement, j'ai dis une grosse bêtise)
Salut
Considère a tel que
Montre que
Bonsoir,
Je me permets de reprendre cette conversation car je n'arrive pas à démontrer cette inégalité...
Où doit-on utiliser le fait que Ker(f) est fermé ?
J'ai essayé de prendre x un élément dans B(0,d(a,Ker(f))
On peut donc dire que pour tout élément k de Ker(f),
Je vois que personne n'a apporté de réponse rédigée complète depuis toutes ces années, et il me semble que c'est pourtant un exercice classique ; alors en voici deux
Preuve 1
Supposons que f ne soit pas continue. Par définition, f n'est pas un opérateur borné et il existe une suite bornée
Puisque f est non nulle, il existe
On peut ensuite s'intéresser à la suite définie par
Pour tout n,
Preuve 2 (bourrin)
On suppose que ker(f) est fermé. On fait appel au théorème de factorisation : il existe
La surjection canonique est automatiquement continue pour la topologie quotient et
f est continue comme composition de ces deux fonctions continues
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac