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Numat : norme de matrice diagonale

Posté par
fusionfroide 17-10-07 à 23:41

Salut

En corus on a montré que lorsque la matrice carrée A esr une matrice diagonale, alors ||A||=max|a_{i,i}| pour la norme l_{\infty} (on ne traite que ce cas)

La preuve commence ainsi :

Soit x tel que ||x||_{\infty}=1

Je ne comprends pas pourquoi on peut choisir cela ?

merci

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:43

Bonjour,
qu'elle est la définition d'une norme d'opérateur ?

Posté par
Ksilverre : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:45

Salut !


pourquoi on pourait pas ?

la définition de ||A||, c'est le sur de |Ax| sur l'ensemble des x telle que |x|=1.

donc je trouve assez naturel de prendre un x telle que |x|=1 non ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:47

Salut

Ok question idiote !

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:48

Je vous rédige la démo car je bloque encore à un endroit

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:55

4$||Ax||_{\infty}m = \max_{i=1,..,n} |a_{ii}x_i| \le \max_{i=1,..,n} |a_{ii}| \times \max_{i=1,..n} |x_i|

Donc 4$||A||_{\infty} \le \max_{i=1,..n} |a_{ii}|

Juste après, on pose 4$k un indice pour lequel 4$a_{kk}=\max_{i=1,..n} |a_{ii}|

Comment y penser en fait ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:55

hum ya pas de m première ligne

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 17-10-07 à 23:58

Comment penser à quoi ?
C'est très naturel, la maximum est atteint et on veut montrer que l'inégalité est en fait une égalité ... On joue donc avec l'élément maximum.

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:02

hum d'accord !

et a-t-on bien 4$||Ae_k||=|a_{kk}| ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:05

Oui on l'a !

Bon en fait on a pris x=e_k !

Mais là on montre l'égalité dans le cas d'un seul vecteur de norme 1...comment la montrer dans le cas général de tout  les vecteurs de norme 1 ?

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:14

Je pense que tu ne comprends pas bien ce que l'on cherche à faire.
Qu'est ce que l'on cherche à faire ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:18

Bien à montrer que l'inégalité est une égalite !

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:25

Quelle inégalité ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:26

4$||A||_{\infty} \le \max_{i=1,..n} |a_{ii}|

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:29

Que représente le truc de gauche ? (par définition)

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:30

4$||A||_{\infty}=\max_{||x||=1} ||Ax||

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:32

Cette égalité est-elle définie pour tout x tel que ||x||=1 ?

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:32

C'est égal au sup, pas au max, mais peu importe.
Conclusion ?

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:33

Non ce n'est pas du tout ce qui est écrit, sinon x->|Ax| serait une fonction constante sur la sphère unité.
Ce qui est écrit est que ||A|| est le max de toutes les valeurs prises par |Ax| lorsque x parcourt la sphère unité.

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:34

Citation :
C'est égal au sup, pas au max, mais peu importe.


Le sup n'intervient pas dans mon cours.

Bon j'y vois plus clair mais je repose ma question :

Cette égalité est-elle définie pour tout x tel que ||x||=1 ?

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:34

Citation :
Non ce n'est pas du tout ce qui est écrit, sinon x->|Ax| serait une fonction constante sur la sphère unité.
Ce qui est écrit est que ||A|| est le max de toutes les valeurs prises par |Ax| lorsque x parcourt la sphère unité.


Ok d'accord j'ai compris !!

Merci otto !

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:36

Je te dis merci quand même, même si tu ne dis jamais "y'a pas de quoi", "ou de rien"

:p

Posté par
fusionfroidere : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:36

Mais merci encore ^^

Posté par
ottore : Numat : norme de matrice diagonale 18-10-07 à 00:54

Y'a pas de quoi.
De rien.
En fait je n'étais pas tout le temps devant le pc non plus.
a+


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