Bonjour,

cette définition indique que A est bornée (ou continue) respectivement aux normes choisies sur les espaces E et F: en ceci tu as raison, c'est une définition implicite.

Cependant en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc si A est borné pour des normes particulières, il le sera pour toutes les autres.

d/dx est un endomorphisme de (applications indéfiniment dérivables), je ne comprends pas ta notation.

Je ne sais pas dans quel espace ton prof se place pour son exemple, car pour la norme infinie il faudrait que les fonctions soient bornées ainsi que toutes leurs dérivées.A-t-il parlé d'espace de Schwartz?

En tout cas je peux quand même t'expliquer ce qu'il a voulu dire:

s'il existait K tel que d/dx soit borné par K, cela signifierait que pour toute fonction f de l'espace initial,

||df/dx|| < K||f||.

En remplaçant pour tout n , f(x) par sin(nx)/n il vient alors:

Pour tout n, ||x -> cos(nx)|| < K. ||x -> sin(nx)/n|| .

Or le sup sur R de |cos(nx)| et de |sin(nx)| vaut 1 pour tout n fixé, donc on aurait:

Pour tout n, 1 < K.(1/n) soit K > n : contradiction puisque K est une constante réelle!

Ainsi cet opérateur est non borné.


Cela illustre bien qu'en dimension infinie, il existe des opérateurs non bornés (autrement dit non continus); ce n'est pas le cas en dimension finie, où la linéarité entraîne à elle seule la continuité (ou encore la "bornitude") .

D'accord, merci pour cette réponse.

A vrai dire représente l'opérateur de dérivation (pour une fonction d'une seule variable réelle, où encore suite de fonction...). Je suis bien d'accord que les notations où il figure le nom d'une pseudo-variable ne veulent pas dire grand chose mais bon il faut que je m'habitue. C'est comme ça... Et vouloir trop chipoter...

On avait effectivement évoqué l'espace de Schwartz dans le cadre des transformations de Fourier, il me semble (c'est bien un ensemble de fonction à "décroissance rapide", non ?).

Donc, cela ne serait pas si simple, en dimension finie il se peut qu'avec certaines normes ce soit continue (donc bornée) et pas avec d'autres. Mais dans ce cas, existe t-il toujours une norme pour que ce le soit.

Merci

Je t'en prie.

Oui l'espace d eSchwartz est aussi appelé "espace des fonctions à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées", et il me semble approprié à l'application de l'opérateur d/dx.

Par contre c'est le contraire, en dimension finie, linéaire implique borné pour TOUT choix de normes sur les espaces E et F.
En dimension infinie, on peut trouver des opérateurs bornés pour une certaine norme mais non bornés pour une autre norme.

Quant à la question de savoir si quel que soit l'opérateur, il existe une norme pour laquelle il est borné, c'est une question intéressante, je n'en connais pas la réponse.

Au plaisir!

    Bonsoir.
    Voici mon exercice:
    Soit H=L²[0,1]. Pour f∈H, on pose:   Tf(x)=∫₀^{x}f(t)dt
    1- Montrer que T est un opérateur continu sur H.
    2- Calculer l'adjoint de T.
    
    
    Pour le calcul de la norme de T (car il faut montrer que ‖Tf‖≤‖T‖‖f‖), je calcule l'intégrale: ‖Tf‖²=∫₀¹Tf(x)Tf(x)dx
                         =∫₀¹|Tf(x)|²dx
                         =∫₀¹|∫₀^{x}f(t)dt|²dx
                         =∫₀¹|∫₀^{x}f(t)1dt|²dx
                         ≤∫₀¹|f(t)|²dx      (par Cauchy Shwartz)
                         ≤‖f‖²
    d'où T est continu
    2- Pour l'adjoint, J'ai <Tf,g> =∫₀¹(∫₀^{x}f(t)dt)g(x)dx
                                              =∫₀¹(∫₀^{x}g(x)f(t)dt)dx
    Mais là je ne sais plus quoi faire. Merci de votre aide.

Bonsoir raycum

Ok pour la question 1), il faut juste faire attention aux fonctions auquelles tu appliques C-S.
Pour la question 2), c'est tout simplement une application de Fubini à l'application sur le domaine .

    Merci Narhm.
    donc,
    ∫₀¹(∫₀^{x}f(t)dt)g(x)dx=∫₀^{x}f(t)(∫₀¹g(x)dx)dt
    mais comment faire pour avoir ∫₀¹ au debut de l'integrale?

Non, ton intégrale n'a pas de sens, en particulier avec tes bornes. Il faut faire attention aux fonctions que tu choisis pour appliquer Fubini, tout comme il vaut le faire pour Cauchy Schwarz de la question 1).

Remarque simplement que et applique Fubini.

    Pour CS, Je prends ∫₀¹|∫₀^{x}f(t)dt|²dx=∫₀¹|<f(t),1>|²dx
                                            ≤∫₀¹‖f(t)‖²|1|²dx       CS
est-ce que je me trompes?

Oui, tu oublies un détail : en général.
Encore une fois, si tu veux utiliser ton produit scalaire il faut le mettre en évidence. Pour se faire, tu peux utiliser une indicatrice :
et tu poursuis tes majorations.

ok, voilà que je commence à comprendre;Donc pour l'adjoint
    <Tf,g>=∫₀¹(∫₀^{x}f(t)dt)g(x)dx=∫₀¹(∫₀¹f(t)1_{[0,x]}(t)dt)g(x)dx    
              =∫₀¹f(t)(∫₀¹1_{[0,x]}(t)g(x)dx)dt
    avec

0≤x≤1
0≤t≤x
     et donc

0≤t≤1
t≤x≤1
    qui veut dire que T^{∗}g=∫₀¹1_{[0,x]}(t)g(x)dx
    c'est à dire que T^{∗}g=∫_{t}¹1_{[0,x]}(t)g(x)dx

Merci Narhm

Oui c'est ça.
Attention cependant à tes deux dernières égalités où il traine encore soit une variable 't' soit une indicatrice qui ne devraient pas être là.

qui veut dire que T^{∗}g=∫₀¹1_{[0,x]}(x)g(x)dx
    c'est à dire que T^{∗}g=∫_{t}¹g(x)dx

Pour la première égalité tu as changé le mauvais 't' mais ok pour la deuxième.
C'est à dire .

Là je comprends. merci pour tout