Bonjour.
J'espère que vous vous portez bien. J'ai un problème pour aboutir au résultat demandé. Voici l'exercice :
On considère la fonction définie sur
par
.
a) Montrer qu'il existe (et les déterminer) tels que
pour tous
.
b) En déduire que le problème possède au moins une solution.
Je bloque à la première question. Je trouve plutôt . Donc j'ai
, qui est négatif, or
est censé être un entier.
Merci d'avance.
salut
-4 est un entier ... relatif !!
je suppose que la norme est la norme euclidienne :
je ne vois pas trop pour la question a/
par contre on peut remarquer que :
qui montre que
et puisque f est continue, elle admet un minimum
sinon on peut remarquer que
pourrais-tu nous montrer ton résultat ?
Salut carpediem.
Oui, la norme utilisée est euclidienne.
Voici mon raisonnement pour la question a) :
or
i.e .
Et .
Ainsi,
i.e
D'où,
Bonsoir,
Pour la question a) on peut réécrire f(x,y) pour forcer l'apparition x2+y2.
En effet :
x4+y4 = 1/2(x2+y2)2 + 1/2(x2-y2)2
2(x-y)2 = 2(x2+y2) - 4xy
4xy = 2(x+y)2 - 2(x2+y2)
Donc, en notant X=x2+y2
f(x,y)=1/2 X2 - 4X + 2(x+y)2 + 1/2(x2-y2)2
Les deux derniers termes sont positifs. La fonction g(X)=1/2 X2 - 4X est au dessus de ses tangentes. Si on calcule la tangente en X=5 (car la pente vaudra 1) on doit trouver alpha=1 et beta= ? (je n'ai pas fait le calcul ... prendre un entier qui va bien).
Bref, l'esprit du raisonnement consiste à écrire f comme a*X^ - b*X + c où a,c sont positifs (quitte à réduire b pour augmenter c afin qu'il soit positif) et de calculer une tangente. Aucune garantie qu'il s'agit du meilleur couple d'entiers évidemment.
Bonne soirée.
Bonjour,
Je suis dans le même cas que toi. Mais je mets une pièce sur "prouver l'existence de inf f(x,y)"
Merci pour ta réponse
J'ai généralisé ta méthode et trouvé ceci :
f(x,y) (a-4)(x2+y2) - a2/2
Si je n'ai pas fait d'erreur, il suffit de choisir a entier naturel pair à partir de 6.
Bonsoir thetapinch27, Sylvieg,
J'espère que vous allez bien. Merci pour vos reactions. Pour la question b), il faut utiliser une hypothèse nécessaire pour prouver l'existence d'un minimum au problème de minimisation proposé. Si est continue et coercive alors on aura prouver que le problème admet au moins une solution, comme carpediem l'a fait ici :
@TJF,
Peux-tu nous transcrire plus clairement l'énoncé de b) ?
S'il s'agit au a) de préparer une minoration de f, pourquoi imposer non nul ?
Et trouver un minorant de f me semble plus facile sans les contraintes de la question a).
Par exemple à partir de ce résultat de thetapinch27 :
f(x,y)=1/2 X2 - 4X + 2(x+y)2 + 1/2(x2-y2)2
Ou à partir de l'expression de f(x,y) :
En développant (x-y)2 , puis en remplaçant 2xy par (x+y)2 - x2 - y2.
Et, cerise sur la gâteau, on en déduit facilement le minimum...
C'est peut-être pour le cacher, que la question a) est formulée ainsi ?
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