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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Optimisation

Posté par
TJF
09-06-24 à 19:08

Bonjour.
J'espère que vous vous portez bien. J'ai un problème pour aboutir au résultat demandé. Voici l'exercice :

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^2 par f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2.
a) Montrer qu'il existe (\alpha ,\beta )\in \mathbb{N}_{*}^2 (et les déterminer) tels que f(x,y) \geq \alpha \parallel(x,y)\parallel ^2-\beta pour tous (x,y) \in \mathbb{R}^2.
b) En déduire que le problème (P) \inf_{(x,y) \in \mathbb{R}^2} f(x,y) possède au moins une solution.

Je bloque à la première question. Je trouve plutôt f(x,y) \geq -4\parallel(x,y)\parallel ^2 -2. Donc j'ai \alpha = -4, qui est négatif, or \alpha est censé être un entier.

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Optimisation 09-06-24 à 19:37

salut

-4 est un entier ... relatif !!

je suppose que la norme est la norme euclidienne : ||(x, y)|| = \sqrt {x^2 + y^2}

je ne vois pas trop pour la question a/

par contre on peut remarquer que :

f(x, y) = x^4 + y^4 -2(x^2 -2xy + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + 2xy - 2

qui montre que f(x, y) \underset {||(x, y)|| \to + \infty}{\to} + \infty

et puisque f est continue, elle admet un minimum

sinon on peut remarquer que  f(x, y) = ||(x, y)||^4 - 2[x^2y^2 - (x - y)^2] = ||(x, y)||^4 - 2[(x^2 + 1)(y^2 - 1) + 2xy + 1]

pourrais-tu nous montrer ton résultat ?

Posté par
TJF
re : Optimisation 09-06-24 à 21:18

Salut carpediem.
Oui, la norme utilisée est euclidienne.
Voici mon raisonnement pour la question a) :
f(x,y) =x^4+y^4-2(x-y)^2
 \\           =x^4+y^4-2(x^2-2xy+y^2)
 \\           =x^4-2x^2+y^4-2y^2+4xy
or (x^2-1)\geq 0 \Rightarrow  x^4-2x^2+1\geq0
                                           i.e    x^4-2x^2\geq -1    \forall x\in \mathbb{R}.
Et  2xy\geq -(x^2+y^2).
Ainsi,
               f(x,y)\geq -1-1-2(x^2+y^2)
            i.e  f(x,y)\geq -2(x^2+y^2)-2
          D'où,  f(x,y)\geq -2\parallel (x,y)\parallel ^2-2

TJF @ 09-06-2024 à 19:08

Je trouve plutôt f(x,y) \geq -4\parallel(x,y)\parallel ^2 -2. Donc j'ai \alpha = -4

Là, j'ai commis une erreur  \alpha =-2.

Posté par
thetapinch27
re : Optimisation 11-06-24 à 22:57

Bonsoir,

Pour la question a) on peut réécrire f(x,y) pour forcer l'apparition x2+y2.

En effet :
x4+y4 = 1/2(x2+y2)2 + 1/2(x2-y2)2

2(x-y)2 = 2(x2+y2) - 4xy
4xy = 2(x+y)2 - 2(x2+y2)

Donc, en notant X=x2+y2

f(x,y)=1/2 X2 - 4X + 2(x+y)2 + 1/2(x2-y2)2

Les deux derniers termes sont positifs. La fonction g(X)=1/2 X2 - 4X est au dessus de ses tangentes. Si on calcule la tangente en X=5 (car la pente vaudra 1) on doit trouver alpha=1 et beta= ? (je n'ai pas fait le calcul ... prendre un entier qui va bien).

Bref, l'esprit du raisonnement consiste à écrire f comme a*X^ - b*X + c où a,c sont positifs (quitte à réduire b pour augmenter c afin qu'il soit positif) et de calculer une tangente. Aucune garantie qu'il s'agit du meilleur couple d'entiers évidemment.

Bonne soirée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Optimisation 13-06-24 à 17:19

Bonjour,
Je n'ai pas compris l'énoncé de la question b).
Quelqu'un peut essayer de m'expliquer ?

Posté par
thetapinch27
re : Optimisation 13-06-24 à 19:45

Bonjour,

Je suis dans le même cas que toi. Mais je mets une pièce sur "prouver l'existence de inf f(x,y)"  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Optimisation 13-06-24 à 21:07

Merci pour ta réponse
J'ai généralisé ta méthode et trouvé ceci :
f(x,y) (a-4)(x2+y2) - a2/2
Si je n'ai pas fait d'erreur, il suffit de choisir a entier naturel pair à partir de 6.

Posté par
TJF
re : Optimisation 13-06-24 à 21:54

Bonsoir thetapinch27, Sylvieg,
J'espère que vous allez bien. Merci pour vos reactions. Pour la question b), il faut utiliser une hypothèse nécessaire pour prouver l'existence d'un minimum au problème de minimisation proposé. Si f  est continue et coercive alors on aura prouver que le problème admet au moins une solution, comme carpediem l'a fait ici :

Citation :
par contre on peut remarquer que :

f(x, y) = x^4 + y^4 -2(x^2 -2xy + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + 2xy - 2
 \\
qui montre que f(x, y) \underset {||(x, y)|| \to + \infty}{\to} + \infty
 \\
et puisque f est continue, elle admet un minimum


Pour ma part, je comprends que la question a) a pour but de minorer f afin de pouvoir facilement déduire la limite f à l'infini pour facilement répondre à la question a).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Optimisation 14-06-24 à 09:07

@TJF,
Peux-tu nous transcrire plus clairement l'énoncé de b) ?

S'il s'agit au a) de préparer une minoration de f, pourquoi imposer non nul ?
Et trouver un minorant de f me semble plus facile sans les contraintes de la question a).

Par exemple à partir de ce résultat de thetapinch27 :
f(x,y)=1/2 X2 - 4X + 2(x+y)2 + 1/2(x2-y2)2

Ou à partir de l'expression de f(x,y) :
En développant (x-y)2 , puis en remplaçant 2xy par (x+y)2 - x2 - y2.
Et, cerise sur la gâteau, on en déduit facilement le minimum...
C'est peut-être pour le cacher, que la question a) est formulée ainsi ?



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