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optimisation et convexité
Bonjour, je travaille sur l´exercice suivant auquel j´ai trouvé qq réponses mais je sèche sur les dernières, merci de votre aide
On considère la fonction f définie sur R^2 par f(x, y) = x^4 + y^4 − 2x^2 + x + y − 3 ainsi que le problème inf f(x, y). (1)
1. On définit la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x) = 4x^3 − 4x + 1.
Montrer que l'équation ϕ(x) = 0 possède trois solution réelles x1, x2 et x3 telles que
x1 < −1/√3, −1/√3 < x2 < 1/√3 et 1/√3 < x3.
=> j´étudie le signe de la fonction et de sa dérivée et par les théroeme de Bolzano, je trouve que les racines sont situées dans les intervalles voulues
2. La fonction f est-elle convexe/concave sur R^2?
=> je calcule la hessienne de f et son déterminant , f est convexe
3. Démontrer que pour tout (x, y) ∈ R^2, on a
f(x, y) ≥ 2(x^2 + y^2) − 2√(x^2 + y^2) − 8.
Que peut-on en déduire pour le problème (1) ?
4. Déterminer les points critiques de f et étudier leur nature (min/max local, point selle).
5. Résoudre le problème (1).
je bloque un peu sur 3/4/5, vos indices sont les bienvenus!
Merci
Si a , b , c sont les racines de 4X3 - 4X + 1 les points critiques de f sont (a,0) , (b,0) , (c,0) . Je suppose qu'on a : a < b < c .
Pour tout (x,y) on a 
1²f(x,y) = 4x(x² - 1) D1,2f(x,y) = 0et D2²f(x,y) = 12y² + 1 .
D2²f(a,0) = D2²f(b,0) =D2²f(c,0) =1
Quels sqont les signes de D1²f(a,0) , D1²f(b,0) et D1²f(c,0) ?
Pour la question 2 :
Si f était convexe ou concave il en serait de même pour f(. , 0) : x
x4 − 2x²+ x − 3 et sa dérivée x 12x² - 4 aurait un signe constant , ce qui ne me paraît ne pas être le cas .
Bonjour.
2) En étudiant le signe des déterminant et trace, tu obtiens quelques infos sur les valeurs propres qui te permettent de conclure sur l'éventuelle concavité/convexité en prenant en compte les résultats trouvés en 1)
3) Il me semble que l'inégalité de Young peut donner un résultat.
4) Comment sont déterminés les points critiques? Là encore l'étude faite en 1) te sert pour les déterminer.
5) Exhibe la valeur de ces points critiques et conclut.
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