Niveau Licence-pas de math

optimisation fonction

Posté par
loris55 12-01-23 à 11:22

Bonjour, je ne comprends pas vraiment une partie de mon cours.

En effet, il porte sur l'optimisation d'une fonction et donc sur les extremums.

Tout d'abord, la prof nous a dit que lorsqu'on cherche un maximum global/local il faut vérifier "la condition de premier ordre" qui est la suivante :
Considérons une fonction 𝑓 dérivable sur un intervalle 𝐼, et 𝑥₀ un point intérieur à 𝐼.
Si 𝒙_𝟎 est un extremum local de 𝑓,
alors 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎.
Cette partie je pense l'avoir compris. On dérive la fonction et on cherche l'antécédent par la fonction f tel que 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎 et ainsi x₀ est un "candidat" pour être un extremum.

Ensuite il faut vérifier la condition nécessaire du 2nd ordre et celle suffisante du 2nd ordre.
Conditions nécessaire du second ordre :
Soit 𝑓 deux fois dérivable sur l'intervalle 𝐼 et 𝑥₀ un point intérieur à 𝐼.
Si 𝑥₀ est un maximum local, alors 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎 et 𝒇′′(𝒙_𝟎) ≤ 𝟎.
Si 𝑥₀ est un minimum local, alors 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎 et 𝒇′′(𝒙_𝟎) ≥ 𝟎.
Donc ici je n'ai pas vraiment compris. Si x₀ est un maximum local, alors ceci implique que 𝑓′(𝑥₀) = 0 et
𝑓′′(𝑥₀) ≤ 0 mais par contre, 𝑓′(𝑥₀) = 0 et 𝑓′′(𝑥₀) ≤ 0 ⇏ 𝑥₀ est un maximum local.
Donc d'après moi, dans un exercice en fait cette propriété ne sert à rien parce qu'on nous dit jamais si x₀ et un maximum local ou non, c'est justement ce qu'on cherche à savoir et si on trouve que 𝑓′(x₀) = 0 et 𝑓′′(𝑥₀) ≤ 0, on ne peut pas affirmer que x₀ est un maximum local d'après la propriété.

Condition suffisante du second ordre :
Soit 𝑓 deux fois dérivable sur l'intervalle 𝐼 et 𝑥₀ un point intérieur à 𝐼. Si 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎 et 𝒇′′(𝒙_𝟎) < 𝟎 alors 𝑥₀ est un maximum local strict de 𝑓.
Si 𝒇′(𝒙_𝟎) = 𝟎 et 𝒇′′(𝒙_𝟎) > 𝟎 alors 𝑥₀
est un minimum local strict de 𝑓.
Ici c'est un peu plus clair car dès que f'(x₀) et 𝒇''(𝒙_𝟎) < 𝟎 alors on peut affirmer que x₀ est un maximum local strict de f.

Bref, si quelqu'un peut reformuler toutes ces propriétés ou de me les expliquer de manière plus claire pour savoir qu'elle est la démarche et la méthode à suivre dans un exercice, je serais vraiment content. (surtout celle nécessaire de 2nd ordre qui d'après moi ne sert à rien parce qu'on peut savoir d'en avance si un point x₀ est un extremum ou pas car c'est ce qu'on cherche en fait.

Posté par re : optimisation fonction 12-01-23 à 11:35

Bonjour
un petit dessin peut-être déjà

optimisation fonction

et pourtant...y vois-tu un extremum local ?

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut poursuivre l'explication. Merci.

Posté par re : optimisation fonction 12-01-23 à 11:49

Merci beaucoup pour votre réponse.
Je comprends votre dessin. Pourtant, dans un exercice on nous donne rarement un dessin comme ça en posant comme question : déduisez si x₀ est un maximum local ou non. C'est plutôt la démarche inverse qu'on nous pose. On part d'une fonction dont on ne connait pas le graphique et on doit démontrer si elle vérifie des maximums/minimums locaux ou non. Et donc je ne comprends pas comment on peut utiliser la condition nécessaire du second ordre dans un cas comme ça pour montrer qu'il existe un maximum ou minimum local.

Posté par re : optimisation fonction 12-01-23 à 16:25

Bonjour,

ce dessin n'est que l'illustration avec comme exemple la fonction (sans doute) f(x)=x³
dérivé nulle, dérivée seconde nulle, dérivée 3ème non nulle (= 6) "donc pas un extrêmum"

peut être faudrait il comprendre ce que veut dire une condition nécessaire en général :
si cette condition n'est pas satisfaite alors la propriété est fausse
si cette condition,est satisfaite alors la propriété est peut être vraie...
(elle ne suffit pas, il faut aussi que la une condition suffisante soit satisfaite)

une, car la condition suffisante indiquée n'est pas la seule :
par exemple si f'(0) = 0 et f''(0) = 0 et f⁽³⁾(0)=0 et f⁽⁴⁾(0)>0 (dérivée 4ème), alors c'est un minimum local
exemple : f(x) = x⁴
dérivée 1ère nulle en 0, dérivée seconde nulle en 0, dérivée 3ème nulle en 0, dérivée 4ème = 24 > 0

Posté par re : optimisation fonction 12-01-23 à 17:22

Les qualificatifs "suffisante" et "nécessaire" ont toujours été une petite source d'embrouille pour les étudiants, parce qu'ils sont conditionnés à réfléchir en termes de "si truc alors machin". Donc dans leur cheminement intellectuel, il est nécessaire de supposer truc pour espérer, peut-être, avoir machin. Mais si une telle chose arrive, alors truc est suffisant, pas forcément nécéssaire. C'est inversé !

Mon conseil : continue à penser en termes "truc => machin". Voici une explication dans les cas non-pathologiques du type 1/sin(x) autour de 0...

1) si I est un intervalle _{^{(connexe, ouvert, etc)}} sur lequel est défini une fonction dérivable f et que f atteint un extremum (local) en x, alors ce x annule sa dérivée.
Avec des symboles : (extremum local en x) => f'(x) = 0. Sous cette forme, on voir bien qu'on n'a pas forcément la réciproque, comme l'ont fait remarquer les autres intervenants.

2) Admettons que j'ai un x qui satisfasse f'(x) = 0. Ce n'est pas forcément un extremum local, certes, mais comme f est continue (et f' aussi presque toujours), si c'est un extremum (local) alors sa courbe représentative est (localement) une cuve si c'est un minimum, ou une montagne (si c'est un maximum).

Si c'est une cuve, la fonction décroit, stagne, puis croit, autour du point où est atteint le minimum. C'est à dire que f' est successivement négative, puis nulle, puis positive, dans cet ordre.

Inversement, si c'est une montagne, la fonction croit, puis stagne, puis décroit. Donc f' est successivement positive, nulle, puis négative, dans cet ordre.

Quitte à devoir "zoomer" encore plus sur x (c'est à dire restreindre I en un intervalle plus serré autour de x), on peut s'imaginer que f va finir par ressembler fortement, dans ces deux cas, à une parabole typique des trinômes du second degré. Ces derniers sont de dérivée seconde positive si et seulement si leur coefficient dominant l'est, si et seulement si la parabole est convexe (une cuve).

Le lien entre une fonction et son approximation par un polynôme (ici, de degré 2) ? Développement limité à l'ordre 2!

3) Dans le cas de x^3, il faut, comme l'explique mathafou, pousser le DL jusqu'à l'ordre 3 pour trouver une dérivée non nulle. Si tu t'arrêtes à l'ordre 2, tu vas trouver la même chose qu'à l'ordre 1 (que des zéros). C'est pour ça qu'on te parle de condition nécessaire, non suffisante. Négatif ou nul, ça ne suffit pas à conclure.

Par contre, pour une fonction telle que le DL à l'ordre 2 en x fait apparaitre un coefficient non nul devant le x^2, on peut, parce que les termes d'ordre supérieurs sont négligeables devant celui en x^2 (enfin, en $(x-x_0)^2$ plutôt), donc ne vont pas changer le comportement de la fonction autour de son extremum