Qu'appelles-tu "le produit " ? C'est ça à mon avis le problème principal.

le produit H1xH2 était pour moi le produit cartésien entre le sous groupe H1 et H2.

Mais je me suis rendu compte que dans mon cas il était vrai que ordre(H1H2)= ordre(H1)x ordre(H2). Ceci en utilisant le fait que l'intersection de H1 et H2 est l'élément neutre et en utilisant un théorème d'isomorphisme.

Parcontre, ceci m'amméne à ce que l'ordre de Gsoit 1 ou 2!! or  il m'ait demandé qu'il soit 2.

Comment écarter la solution où (l'ordre de G)=1?

Merci!

Il y a toujours un point de l'argument que je n'ai pas compris :
Tu veux dire que si et sont des sous-groupes distingués de , tels que , alors forcément le groupe produit est (isomorphe à) un sous-groupe de ? Tu peux donner une démonstration de ceci ?

Ce qui est vrai sans problème, c'est que l'application définie par est injective, et ceci suffit pour montrer que , d'où . On ne peut pas écarter le cas : le groupe a deux sous-groupes (non distincts) d'indice 2 et d'intersection réduite à l'élément neutre ! L'énoncé aurait dû préciser "deux sous-groupes distincts".

le problème que tu as c'est la différence entre le produit cartésien et les classe de équivalence... peut être, car le cardinal de H1.H2 ce n'est pas n2 au sens de H1.H2 est l'ensemble constituée par le produit des deux éléments, le premier de H1 et le deuxième de H2, mais le cardinal du produit cartésien de H1 et H2 c'est n2.
je vais poser une réponse à cet question:
  cas évident:si n=1 alors ord(G)=2, on a le seul sous groupe de G d'ordre 2 c'est lui même
  On suppose que n2 (n>1)
on a H1H2={e}
d'où card(G/H1H2)=2n-1
On note D le plus petit groupe qui contient H1H2
on a pour aH1*, et bH2* :
si a.bH1 bH1
car b=a^-1.(a.b), par la stabilité du groupe, on aura bH1
ABSURD
de même on peut montrer que a.bH2
d'où a.bH1H2
alors H2H2 n'est pas stable par ce loi, d'où:
H1H2 n'est pas un groupe
alors H1H2D
alors ord(D)=card(D)>2n-1 d'où ord(D)2n
on a DG d'où ord(D)2n
d'où ord(D)=2n
on a DG et ord(D)=ord(G)D=G
est encore on a card(G/H1H2)=1
on note S=G/H1H2={x}
alors on a pour tout aH1* et pour un element bH2* on'a
a.bS d'où a.b=x ce qui donne a=x.b^-1
d'où pour tout élément a de H1*: a=x.b^-1 alors card(H1*)=1
d'où ord(H1)=2 et alors n=2, ord(G)=4
et alors on peut noter G={e,a,b,a.b} tel que a=a^-1, b=b^-1, et a.b=(a.b)^-1
et enfin on peut déduire que G est un groupe abélien
car: a.b=(a.b)^-1=b_-1.a^-1=b.a
et enfin pour la question des sous groupes d'ordre 2 il y a trois:
{e,a},{e,b},{e,a.b}

peut être il y a des méthodes plus courtes que la mienne, avec des théorème...
car enfin je suis qu'un élevé de première année de cpge (MATH sup).      

  

et plus on appelle ce genre de groupe:groupe symétrique
car:
on note a.b=c
e.e= e
a.a= e
b.b= e
c.c= e
a.b= b.a= c
a.c= c.a= b
b.c= c.b= a

salut encore!!
tu as dit que (a,b)ab est injective, mais ce qui est claire que si G est un groupe abélien, alors a.b=b.a ce qui veut dire que s^{i on note:
f:G [sup]2}G
          (a,b) a.b
on aura f(a,b)=a.b=b.a=f(b,a) et pour ab on aura         (a,b)(b,a), ce qui veut dire que f n'est pas injective
encore en cas générale
on peut prendre a=c.d.b^-1 , avec db, et on aura
a.b=c.d et ac et bd
ce qui montre que si ord(G)4 , l'application n'est pas injectif.