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Ordre d'une permutation

Posté par
Milka3 20-08-19 à 12:12

Bonjour,

je dois prouver que l(\sigma)=min\{p\in\mathbb{N}^* : \sigma^p=Id\} est une définition cohérente pour l'ordre d'une permutation.

Je sais que toute partie non vide de \mathbb{N} admet un plus petit élément et donc il s'agit ici de montrer que l'ensemble \{p\in\mathbb{N}^* : \sigma^p=Id\} est non vide.

Dans un autre exercice, j'ai déjà vu dans une démonstration de l'existence de i,j \in\mathbb{Z}, i<j, tq. \sigma^i=\sigma^j sinon cet ensemble serait infini.

Il me semble que le principe est le même ici. Pour montrer que l'ensemble \{p\in\mathbb{N}^* : \sigma^p=Id\} est non vide, on va montrer qu'il contient deux éléments identiques.

Mais pour cela, il manque l'argument affirmant que cet ensemble est fini. Ce que je ne vois pas.

Est-ce que je fais fausse route ?
Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:20

Bonjour Milka3.
Que penses-tu de l'ensemble E = \{\sigma^p~|~p \in \N\} ?
Il est fini ou infini. Il est impossible qu'il soit infini sinon \mathfrak S_n le serait, ce qui est impossible.
Donc l'ensemble E contient deux éléments identiques pour deux indices différents. D'où le résultat.

Posté par
carpediemre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:22

salut

l'argument de finitude est inutile

il est clair que si s^p = I alors pour tout k s^{kp} = I

l'important est que l'ensemble \{k \n \N  /  s^k = I \} soit non vide pour posséder un minimum (puisqu'on est dans N)

donc l'existence du minimum n'a rien à voir avec la finitude !!!

si la suite n \mapsto s^n est infinie alors le groupe contient un élément d'ordre infini ce qui serait en contradiction avec la finitude du groupe (si c'est effectivement le cas)

...

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:23

Citation :
je dois prouver que l(\sigma)=min\{p\in\mathbb{N}^* : \sigma^p=Id\} est une définition cohérente pour l'ordre d'une permutation.

Quelle est la définition d'une "définition cohérente" ?

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:30

Dans ce cas, comment montre que cet ensemble contient un premier élément et un deuxième identique au premier ?

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:31

Tout est dans ma réponse de 12:20

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:34

L'ensemble E introduit est différent de l'ensemble en question dans l'exercice, appelons-le A.

Ou alors comme E est fini, alors A l'est aussi ?

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:40

Tu l'appelles comme tu veux, l'essentiel est que tu comprennes le raisonnement.

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:43

Est-on d'accord que l'ensemble E est différent de l'ensemble A ?

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 12:47

Je ne sais pas ce que tu appelles l'ensemble A ...

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 13:05

A=\{p\in\mathbb{N}^* ~|~ \sigma^p=Id\}
et
E = \{\sigma^p~|~p \in \N\}

E est fini car S_n l'est
A est fini car E l'est.

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 13:05

Est-ce le bon raisonnement ?

Posté par
jsvdbre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 13:12

non, A n'est pas fini ... si p_0 \in A alors kp_0 \in A pour tout k \in \Z.
C'est ce que t'expliques carpediem dans son message de 12:22

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 22:48

Je vois.
Je reprends le raisonnement :

E\subset S_n et S_n est fini, donc E l'est aussi.

Puisque E est fini alors il existe i,j \in\mathbb{Z}, i<j, tq. \sigma^i=\sigma^j . Soit \sigma^{j-i}=Id et donc l'ensemble \{p\in\mathbb{N}^* : \sigma^p=Id\} n'est pas vide.

Il contient donc un plus petit élément.

Posté par
carpediemre : Ordre d'une permutation 20-08-19 à 22:59

ouais ... c'est plus clair et raisonnable ...

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 21-08-19 à 15:00

Merci bcp.

Posté par
carpediemre : Ordre d'une permutation 21-08-19 à 16:30

de rien

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 22-08-19 à 18:50

Bonsoir,

Je reviens à cet exercice où je dois montrer que l(σ) est le ppcm des ordres des cycles apparaissant dans la décomposition de σ en produit de cycles à supports disjoints.

Voilà ma démonstration :
- Soit \sigma\in S_n que je décompose en produit de cycles c_1, ...,c_k à supports disjoints de longueurs respectives s_1,...,s_k. Soit \sigma=\prod_{i=1}^kc_i.

-Je note m=ppcm(s_1,...,s_k).

- Je veux montrer que m=l(\sigma).

Montrons que l(\sigma)\le m :

\sigma^m=(\prod_{i=1}^kc_i)^m=\prod_{i=1}^kc_i^m=\prod_{i=1}^kc_i^{s_i\frac{m}{s_i}}=\prod_{i=1}^k(c_i^{s_i})^{\frac{m}{s_i}}=\prod_{i=1}^kId^{\frac{m}{s_i}}=Id.

Montrons que l(\sigma)\ge m :

Soit j<m.
Alors il existe i\in \{1,...,k\} tq. s_i ne divise pas j.

J'effectue le D.E de j par s_i :

j=s_iq+r  avec 0\le r<s_i

Ainsi :
\sigma^j=\sigma^{s_iq+r}.

Et j'ai l'impression d'aller vers une impasse.
Est-ce que je fais fausse route ?
Est-ce que j'ai la bonne démarche ?
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 15:28

Une questions supplémentaire me taraude l'esprit :

J'ai bien compris que E = \{\sigma^p~|~p \in \N\} est fini car S_n l'est.

Est-ce que l'orbite d'un élément x\in E selon une permutation \sigma\in S_n est également fini ?

O_\sigma(x)=\{\sigma^k(x),k\in\mathbb{Z}\} est-elle finie ?

Je dirais que si E est fini alors oui.
Me trompe-je ?

Posté par
mousse42re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 16:00

Salut
C'est du cours, les orbites de \sigma\in S_n, forment une partition de l'ensemble [\![1,n]\!]

Posté par
mousse42re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 16:27

Pour ton exercice, il me semble que le fait que S_n ne soit pas abélien, on ne puisse écrire ceci :\sigma^m=(\prod_{i=1}^kc_i)^m=\prod_{i=1}^kc_i^m.

Un deuxième commentaire et ceci est vrai pour tout exercice, il est préférable de travailler avec un objet plus simple, c'est à dire donner une démonstration pour un \sigma\in S_n tel que \sigma=c_1c_2, ce sera plus simple.

Ensuite tu généralises pour \sigma=\prod_{i=1}^kc_i

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 16:31

Eh oui, c'est vrai ! Merci.
Sinon, je reviens à ma démonstration. Je crois avoir compris :

Montrons que l(\sigma)\ge m:=ppcm(s_1,...,s_k)

Soit j>m. Alors il existe i\in \{1,...,k\} tq. s_i ne divise pas j. J'effectue le D.E de j par s_i :

j=s_iq+r  avec 0\le r<s_i

Dans la suite, je note \large c_i=(a_1,...,a_{s_i}) le cycle de longueur s_i

Ainsi :
\large \sigma^j(a_1)=\prod_{l=1}^{i-1}c_l^j \circ c_i^j \circ \prod_{l=i+1}^{k}c_l^j(a_1)
\large \sigma^j(a_1)=\prod_{l=1}^{i-1}c_l^j \circ c_i^j(a_1)      (1)
\large \sigma^j(a_1)=\prod_{l=1}^{i-1}c_l^j \circ c_i^r(a_1)      (2)
\large \sigma^j(a_1)=\prod_{l=1}^{i-1}c_l^j (a_{r+1})      (3)
\large \sigma^j(a_1)=a_{r+1}      (4)

Explications :
(1) \large\prod_{l=i+1}^{k}c_l^j(a_1) = a_1 car les c_{i+1},...,c_k laisse fixe a_1

(2) c_i^j(a_1)=c_i^{s_iq+r}(a_1)=c_i^{r}(a_1) car c_i est de longueur s_i

(3) c_i^r(a_1)=a_{r+1} puisque r<s_i et c_i est un s_i-cycle

(4) \large \prod_{l=1}^{i-1}c_l^j (a_{r+1})=a_{r+1} car les c_{1},...,c_{i-1} laisse fixe a_1

J'en conclus donc que \sigma^j\neq Id
D'où l(\sigma)\ge j>m
Soit l(\sigma)\ge m

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Milka3re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 16:32

mousse42 @ 23-08-2019 à 16:27

Pour ton exercice, il me semble que le fait que S_n ne soit pas abélien, on ne puisse écrire ceci :\sigma^m=(\prod_{i=1}^kc_i)^m=\prod_{i=1}^kc_i^m.

Un deuxième commentaire et ceci est vrai pour tout exercice, il est préférable de travailler avec un objet plus simple, c'est à dire donner une démonstration pour un \sigma\in S_n tel que \sigma=c_1c_2, ce sera plus simple.

Ensuite tu généralises pour \sigma=\prod_{i=1}^kc_i


Je crois que dans ce cas on peut, puisque les c_i sont à supports disjoints donc commutent.

Posté par
mousse42re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 16:35

oui c'est vraie, mille excuses

Posté par
mousse42re : Ordre d'une permutation 23-08-19 à 17:21

C'est un peu compliqué, j'ai du mal à suivre ...

On prend un \sigma =c_1c_2
On note l'ordre de \sigma : L et l'ordre de c_1,c_2 :  \ell_1,\ell_2

Il est évident que L\le $ppcm(\ell_1,\ell_2), montrons que L\ge $ppcm(\ell_1,\ell_2) par l'absurde supposons que L< $ppcm(\ell_1,\ell_2), dès lors il existe i\in \{1,2\} tel que  \ell_i\not|L, ainsi c_i^L=c_i^{\ell_iq_i+r_i}=c_i^{r_i}\quad $ avec $  0\le r_i<\ell_i ($dont au moins un $  r_i\ne 0), les c_i étant à supports disjoints, on a c_1^{r_1}c_2^{r_2}\ne $Id$, donc L\ge  $ppcm$(\ell_1,\ell_2)


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