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ordre dans R

Posté par
TJF 12-08-14 à 18:15

Bonjour,
Je n'ai pas pu faire l'exercice suivant:

Soit A l'ensemble des inverses des nombres entiers naturels non nuls.
1) Démontrer que 1 est le maximum de A
2) Démontrer que l'ensemble A est minoré mais n'admet pas de minimum

Merci d'avance

Posté par
blumaisere : ordre dans R 12-08-14 à 18:22

Ecris les premiers éléments de A, ça va t'aider pour comprendre ce qui se passe.

Posté par
NervaL928re : ordre dans R 12-08-14 à 22:13

\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}
\mathbb{A}=1/\mathbb{N}=\{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}
max\{\mathbb{A}\}=1
Ensuite,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, donc tu as bien l'absence de minimum (à cause du fait que ce ne soit qu'une limite).

Posté par
blumaisere : ordre dans R 12-08-14 à 22:24

Les limites en seconde, bof bof !

Pour prouver rigoureusement l'absence de minimum, il faut raisonner par l'absurde. S'il y a un minimum, c'est un réel m strictement positif (puisque 0 n'appartient pas à A). Or il est possible de trouver un entier naturel n supérieur strictement à 1/m, et on a par passage à l'inverse 1/n strictement inférieur à m, ce qui contredit le fait que m minore A.

Posté par
shawarmare : ordre dans R 13-08-14 à 01:10

Bonjour,

Citation :
\\ 1/\mathbb{N}


\red\boxed{1.} Soit A l'ensemble défini par A=\{\frac{1}{n},~n\in\mathbb{N}^*\}

Je suppose vraie l'équivalence suivante (que l'on démontre facilement) :

Soient a,b\in\mathbb{N}^* : \boxed{a<b \Leftrightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}}~~~~(1)

On a clairement ~\boxed{\min \mathbb{N}^* = 1}. Ainsi par construction de A et par (1) nous avons \boxed{\max A=\frac{1}{\min\mathbb{N}^*}=1}


\red\boxed{2.} Supposons que A aie un minimum m. m\in A donc ce nombre est l'inverse d'un entier naturel non nul que l'on notera m' : m=\frac{1}{m'}

(1) nous permet d'affirmer que  \underbrace{\frac{1}{m'}}_{m}>\underbrace{\frac{1}{m'+1}}_{m^*}

Ainsi nous avons trouvé un nombre plus petit que m

Posté par
shawarmare : ordre dans R 13-08-14 à 01:11

C'est parti trop tôt

Ainsi nous avons trouvé un nombre m* plus petit que m donc A n'admet pas de minimum.

Posté par
TJFordre dans R 13-08-14 à 19:57

Bonsoir,

Merci pour à  vos explications.

Posté par
TJFordre dans R 13-08-14 à 20:04

Bonsoir,

Désolé c'est "Merci pour vos explications."

Posté par
shawarmare : ordre dans R 13-08-14 à 20:39

Pour ma part avec plaisir


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