Bonjour AnneDu60.

Quel est l'ordre de dans ?

Le groupe possède-t-il un élément de cet ordre ?

Conclusion ?

Ben, y a un élément d'ordre 4. Des groupes d'ordre n avec un element d'ordre n, y en a pas des masses.

Alors 3 est d'ordre 4.
En effet, 3¹=31
3²=9=41
3³=27=21
et 3⁴=1

Les ordres de (/5)^x sont :
1;2;4;4
Les ordres de /4 sont les mêmes
Les ordres de /2 x /2 sont :
1;2;2;2.

Mais j'arrive pas à conclure en fait .. Deux ensembles finis sont isomorphes les ordres des élements de l'un sont les mêmes que les élements de l'autre et réciproquement ? J'imagine ..

Je suppose par l'absurde que (/5)^x est isomorphe à  /2 x /2, je note l'iso associé et j'essaye d'aboutir à une contradiction.
Il existe un unique élement x /2 x /2 tel que  3=(x) ..  

quel est l'ordre de 2 ?

Ah .. :/

<3>={3^k, k} ={3...... 3, k fois, k}={1,2,3,4}
c'est bien la loi multiplicative ? Je pense, car on définit  (/5)^x avec la loi multiplicative. En effet,
(/5)^x:={x/5 tq
y/5 tq xy=1}

L'ordre de 2 : (2)=min{k 1 tq 2^k=1}
=4 ..

Un isomorphisme de groupe, c'est pas une simple bijection entre deux groupes.
C'est non seulement une bijection, mais tu as toute la structure de l'un qui est identique à l'autre par cette bijection. Tu as, comme dit Bourbaki, un transport de structure de l'un sur l'autre, au point qu'on dit qu'il sont égaux ... à isomorphisme près.
Donc, par exemple, un des deux possède 43 éléments d'ordre 28 si et seulement si l'autre possède 43 éléments d'ordre 28 (même si c'est pas possible, je m'en moque, ça n'a valeur que d'illustration)
En gros, tu ne peux pas les distinguer quant à leurs structures algébriques puisqu'elle sont identiques, tu ne peux les distinguer que par les éléments qui les composent.

Donc, dans le cas qui te préoccupe, (muni de la structure produit) a au mieux des éléments d'ordre 2 et possède des éléments d'ordre 4. Donc ils ne peuvent pas être isomorphes. Conclusion, est isomorphe à puisqu'il n'y a pas, à isomorphisme près, d'autres groupes d'ordre 4.

Le tout, après, c'est de trouver l'isomorphisme.

jsvdb :

Vous avez mis le doigt sur ce que je voulais savoir, oui en effet (/5)^x admet un élément d'ordre 4 ce qui n'est pas le cas de (/2)² donc ils ne peuvent pas être isomorphes.
En fait je voulais rédiger ça de façon mathématiques (raisonnement par l'aburde par exemple) pour le prouver, j'imagine que votre argument suffira largement sur une copie d'examen. Toutefois, j'aurais bien voulu avoir une contradiction en supposant que (/5)^x est isomorphe à (/2)² .. auriez-vous une idée ?

Oui j'obtiens (/5)^x =<3> mais après .......

Bis repetita, pourquoi, plutot que de montrer que (Z/5Z)* n'est pas isomorphe à (Z/2)², tu ne montres pas plutot directement que (Z/5)^* est isomorphe a Z/4.

Ensuite, est ce que tu réalises que le fait que 3 engendre (Z/5), implique tout de suite que (Z/5)^* est isomorphe a Z/4.

Plus generalement si un groupe fini d'ordre n possède un élement d'ordre n, il est isomorphe à Z/n.

Enfin si f est un isomorphisme de G sur H  alors l'ordre de a est égal à l'ordre de f(a) pour tout a dans G.

Tous ces faits sont triviaux.

Erratum: "que le fait que 3 engendre (Z/5)*", et pas "que le fait que 3 engendre (Z/5)"

Alors là, sur une copie, c'est imparable :



or dans

L'isomorphisme entre les deux groupes est donc impossible.

Tu es censée savoir que par un isomorphisme, les éléments "isomorphés" ont le même ordre (et c'est pas difficile à démontrer) et ça ne doit pas forcément être le cas pour un "simple" morphisme.
Aucun raisonnement par l'absurde à faire.