Un exemple qui ne rime plus à rien aujourd'hui car des "circuits tout faits" existent.

Je désire fabriquer un circuit électronique réalisant la multiplcation (à une facteur d'échelle près) de 2 tensions analogiques. (casse-gueule).

Je résouds la jolie équation fonctionnelle que tu as écrite et ,pour autant qu'on arrive pas à une fonction démentielle, on arrive à fabriquer un circuit qui réalise la fonction de transfert f. (il suffit souvent de quelques amplis opérationnels où le gain varie en fonction des tensions entrantes (avec des diviseurs résistifs et diodes ...).

Une fois un tel circuit réalisé (ou plutôt 2 identiques), j'entre la somme des 2 tensions analogiques dans un et la différence des 2 tensions analogiques dans l'autre (facile). On somme les 2 sorties (facile) et le miracle est accompli, on a là a sortie du circuit une tension proportionnelle au produit des tensions d'entrées.

Pas facile à faire autrement, lorsque les circuits spécialisés n'existaient pas.

Merci J-P pour cette application électrique

Y aurait-il d'autres applications ?

Par ailleurs, cette façon de procéder (définir f par lui même et quelques variables) est-elle récente ou remonte-t-elle aux origines de l'analyse ?

Merci

Philoux

Dans ma façon de voir, qui n'est pas du tout celle d'un professionnel des maths (!), les équations fonctionnelles ne sont pas simplement une curiosité permettant de construire de jolis problèmes d'olympiades. C'est assez comparable aux équations différentielles, mais au lieu de s'interesser aux propriétés locales des fonctions, on s'intéresse à des propriétés globales (périodes, symétries, effets d'échelle, etc...)
Si mes souvenirs sont bons, une célèbre équation fonctionnelle est celle de la fonction zéta de Riemann, qui permet un prolongement de zéta(s)=1/n^s et est à l'origine d'un problème non résolu sur les zéros de cette fonction (et sans doute d'autres)

merci

ce qui signifie que les équa-diff s'intéressent aux propriétés locales des fonctions ?

pourtant, qd on détermine une ED c'est pour tout x ?

tu peux développer stp ?

Philoux

En général une équa diff met en relation la fonction et ses dérivées en un même point, d'où mon expression de propriétés locales: relations entre la tangente, la normale, la courbure, etc..., même si c'est bien sûr la même chose en tout point
f'(x)=f(x) est une propriété locale, f(x+y)=f(x)f(y) est une propriété globale de e^x

Ok merci

Philoux

On peut se poser plein de problèmes que l'on peut modéliser et qui nous font tomber sur des équations fonctionnelles.
On remarque aussi que les équations au différence sont des équation fonctionnelles particulières, et que celles ci interviennent souvent lorsque l'on essaie de résoudre numériquement une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle.
Une autre raison est qu'en maths, on aime bien essayer de généraliser certains concepts.
On sait résoudre sous certaines conditions les équations du type:

F(x,y)=L(y)
où L est l'opérateur dérivé.

Si maintenant on reprend la même chose, mais que l'on ne demande plus à L d'être l'opérateur dérivée, mais seulement un opérateur linéaire, que peut on trouver d'intéressant?

Par exemple
F(x,y)=y
L(y)=y(x-1)

Alors que peut on trouver d'intéressant sur les solutions de cette équation?

En fait je n'ai pas fini de dire ce que je voulais:

Si on a une équation différentielle, on peut trouver une équation fonctionnelle pour une fonction qui approche d'aussi près que l'on veut, la solution de notre équation différentielle. Par exemple par la méthode de Newton.
A+

Ca semble très riche, plus riche que je ne l'imaginais

Connaissez-vous des ouvrages "accessibles" traitant du sujet ?

Merci

Philoux

Salut,
je ne connais pas vraiment de livre sur le sujet, mais c'est un sujet qui demande certaines connaissances de base sur les algèbre de Banach et sur l'analyse fonctionnelle en général.
Celà étant, il doit exister, comme dans toute discipline des livres plus vulgarisés que d'autres.

Ben dommage...

Philoux

Ca ne veut pas dire qu'il n'y a rien d'abordable
Il doit y avoir des trucs, mais il faut savoir les trouver.
Moi je n'en connais pas, mais je ne suis pas spécialiste dans ce domaine.
A+

Je ne connais pas d'ouvrage général, par contre des livres entiers peuvent être consacrés à une équation (comme celle de la fonction zéta, ou celle des formes modulaires)
Par contre, on peut trouver sur la toile un petit article sur le sujet, destiné à la préparation d'olympiades, donc accessible niveau lycée: http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf

Merci beaucoup piepalm

lien très intéressant : exactement l'accessibilité qui me convient !

Philoux

Il y a une revue scientifique "Aequationes mathematicae"  je crois qui ne publie que des choses ayant trait aux équations fonctionnelles.

Autre application : la transcendance de certains nombres  f(z^2)= (1-z)f(z)  a pour solution analytique autorur de 0, la série de Fredholm encore appelée fonction de Thue-Morse, Mahler fut le premier à prouver que f(a)  est transcedant quand  a  algébrique , 0< a < 1 .
(idem pour les résultats sur la transcedance de  pi , Log(2)+ log(11)... etc  ...on utilise les équations fonctionnelles de certaines fonctions

lolo