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Orthogonalité
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider sur la démarche à suivre pour cet exercice:
Soit E=R3[X]. Pour tout (P,Q)
E², on pose :
<P|Q>=
01P(t)Q(t)dt.
1) Démontrer que <.|.> définit un produit scalaire sur E
2) On pose F=Vect(X,X²). Déterminer une base de F
.
Aucun problème à la première question mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la seconde.
Merci de votre aide
Bonsoir et merci de votre aide,
J'ai donc :
<P|X>=0 <=> 01P(X)XdX=0
En posant P(X)=aX3+bX2+cX+d j'obtiens
a/5+b/4+c/3+d/2=0
En opérant de même avec <P|X²>=0 j'ai
a/6+b/5+c/4+d/3=0
Est-ce correct, que faire ensuite ?
déjà évidemment se débarrasser des fractions pour y voir plus clair ...
ensuite deux équations à quatre inconnues donc tu peux en exprimer deux en fonctions des deux autres ...
et donc tu auras deux paramètres pour déterminer cet espace à deux dimensions ...
et en choisissant deux valeurs convenables tu en déduiras une base ...
En résolvant le système je trouve
a=(5/2)c + 10 d et b=-(10/3)c-10d
Puis-je dire qu'une base de F est {(5/2X3-10/3X2 + X) ; (10X3 -10X2 + 1)} ?
Merci de votre réponse
tu peux le dire ... mais je ne sais pas si c'est exact ... 
dans une certaine mesure j'aurai choisi les "paramètres" de façon à ne pas avoir de fraction ... mais peut-être n'est-ce pas possible ...
enfin oui ça semble correct ...
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