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orthogonalité et alignements complexes

Posté par
aya4545 07-02-22 à 12:00

bonjour
j ai besoin de votre aidepour cet exercice
M(z=x+iy) ;M'(z'=x'+iy') deux points du plan complexe P
1)montrer que \vec{OM}\perp\vec{OM'} \iff Ree(z'\overline{z})=0
2) montrer que les points O;M;M'sont alignés \iff Im(z'\overline{z})=0
en utilisant dans 1) la produit scalaire des deux vecteurs \vec{OM} ;\vec{OM'}et leur determinant dans 2) le probleme est reglé
mais je me demande peut on obtenir ces resultas en utilisant les complexes z et z' et merci

Posté par
lakere : orthogonalité et alignements complexes 07-02-22 à 12:20

Bonjour,

Par exemple en 1) en supposant M\not=O

\vec{OM}\perp\vec{OM'}\Longleftrightarrow \dfrac{z'}{z}\text{ imaginaire pur}

  Soit \dfrac{z'}{z}=-\dfrac{\bar{z'}}{\bar{z}} et la suite ...

Posté par
aya4545re : orthogonalité et alignements complexes 07-02-22 à 13:10

merci lake c est tres court et et simple
ma piste est la suivante :
z=[|z| ;\alpha]  \quad z'=[|z'| ;\alpha'] donc z'\overline z =[|z'||z| ;\alpha'-\alpha] et apres je suis bloquée

Posté par
lakere : orthogonalité et alignements complexes 07-02-22 à 16:52

Je ne comprends pas trop ce que tu fais.

Je complète pour 1):

  Avec M\not=O et M'\not=O, c'est à dire z\not= et z'\not=0:

  \vec{OM}\perp\vec{OM'}\Longleftrightarrow (\vec{OM},\vec{OM'})=\dfrac{\pi}{2}\;\;[\pi]\Longleftrightarrow (\vec{u},\vec{OM'})-(\vec{u},\vec{OM})=\dfrac{\pi}{2}\;\;[\pi]\\\Longleftrightarrow Arg(z')-Arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\;\;[\pi]\Longleftrightarrow Arg\left(\dfrac{z'}{z}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;\;[\pi]\Longleftrightarrow\dfrac{z'}{z}\text{ Imaginaire pur }\\\Longleftrightarrow \dfrac{z'}{z}=-\dfrac{\bar{z'}}{\bar{z}}\Longleftrightarrow z'\bar{z}+\bar{z'}z=0\Longleftrightarrow \Re(z'\bar{z})=0

2) Se traite de la même manière.


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