Bonjour,
je bloque pour la fin d'un exo :


1.Le plan est muni d'une base orthonormée directe, montrer que la matrice de la rotation
d'un angle θ est une matrice orthogonale. Que vaut son déterminant ?
R = (cos       sin
         -sin        cos)
det R = 1
norme de la première colonne de R : 1
même résultat pour la deuxième colonne de R
<R1, R2> = 0

2. L'espace est muni d'une base orthonormée directe (e1,e2,e3).

(a) Ecrire les matrices des rotations d'angle θ autour de e1, e2, e3. Vérifier que ces matrices
sont orthogonales.
Autour de e1 :
R' = (1    0            0
           0     cos   -sin
           0     sin    cos)

norme de chaque colonne vaut 1.
Le produit scalaire entre 2 colonnes vaut 0.

Rotation autour de e2.
R'' = (cos   0   sin
            0          1               0
            -sin   0   cos)

Les normes de chaque colonne valent 1. Le produit scalaire entre 2 colonnes vaut bien 0.

R''' = (cos    0   sin
             0         1         0
             -sin   0   cos)
Norme de chaque colonne vaut 1.
Le produit scalaire entre 2 colonnes vaut bien 0.

(b) En déduire que la matrice R d'une rotation quelconque est orthogonale.
R = PR'P-1
Je pensais utiliser la propriété que la matrice de passage entre 2 base orthonormées est orthogonale. Sauf que je ne sais pas si R est orthonormée vu que j'essaye de montrer qu'elle est orthogonale...

(c) Comment pouvait-on obtenir ce dernier résultat immédiatement ? Que vaut le déterminant de R ?