Bonjour wuksey.
Tu peux utiliser le fait que dans les espaces métriques, un ouvert est connexe si et seulement si il est connexe par arc.

Et donc on montre la connexité par arc de O \ {x} . Et ça je ne sais pas trop comment le faire.

En cherchant sur le net je vois deux méthodes :

En montrant que pour deux points de O \ {x}, on peut trouver un chemin continu qui les relie. Il faudrait le construire. Je ne vois pas bien comment faire.

Ou en montrant que O \ {x} est l'image d'un connexe par arcs par une application continue..

Comme on suppose que O est connexe, alors il est connexe par arc.
Donc deux points a et b de O peuvent être reliés par un arc continu.
On suppose maintenant que a et b sont dans O\{x}.
Il faut alors construire un chemin reliant a et b et qui ne passe pas par x.
On considère donc un chemin quelconque reliant a et b dans O. Si x est sur ce chemin, comment peux-tu établir une déviation qui ne passe pas par x ? Fais un dessin en 2D, tu verras, ça se fait tout seul en considérant une sphère autour de x.

Connais tu le théoreme d'excision?

J'imagine qu'il faudrait que la sphère centrée en x ait un rayon strictement supérieur à 0 et que le chemin ne passe jamais par la sphère.. mais j'arrive pas à entrevoir le début d'une justification !

Non je ne connais pas le théorème d'excision !

Merci pour vos réponses

D'accord ! J'ai saisi cette partie, c'est assez visuel. Mais je ne vois pas comment expliciter le chemin

Supposons que de a à b, ton chemin rentre dans la sphère en a' (une première fois) et en ressort en b' (une dernière fois)
Sur ta sphère, tu considères un chemin de a' à b'
(c'est pas compliqué puisque la sphère est un ensemble des points (y₁,...,y_n) de ⁿ qui vérifient une relation de la forme (y₁-x₁)² + ... + (y_n-x_n)² = R²)
Ensuite tu concatènes tes trois chemins a -> a'  -> b' -> b

Pour le chemin allant de a à a' et de b à b' , on sait qu'ils existent car O \ {p} est connexe . ( Je me souviens même plus comment on les explicite... (t) = a + t u , ' (t) = b' + t u' ??)

Ensuite il faudrait un chemin allant de a' à b' , un chemin ayant une courbe de demi cercle (pour le cas n=2) , et je ne sais plus comment on fait

Bonjour, je me penche également sur la question. Pour prouver l'existence de a' et b', j'ai procédé comme ceci :

Soit le chemin reliant a et b passant par x
il existe y dans [0,1] tel que (y) = x

on suppose que a et b n'appartiennent pas à la boule de rayon r centrée en x

posons f : [0,y] -> R₊
                          t    ->   d((t),x)

f est continue par composition :
est continue
x -> d(x,a) est continue car 1-lip pour tout a

on a f(0)=d(a,x) > r > d(x,x)=f(y)
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un point a' du chemin sur la sphère de rayon r centrée en x.
De même pour b'.

Cela est-il correct?

Pas besoin d'aller chercher de paramétrisation.
Une boule ouverte est un ensemble convexe.
Donc si a' et b' sont sont sur la sphère correspondante, il n'est pas difficile de tracer le segment [a';b'] dans la boule, et si x [a';b'], on choisit un point c' n'appartenant pas au diamètre [a';b'] dans la boule et on concatène [a';c'] avec [c';b'].

Donc pour nous résumer :

On va de a à b dans O via un chemin C.
Si x C, on considère une boule B ouverte centrée en x et ne contenant ni a ni b.
C traverse B une première fois en a' et une dernière fois en b' (donc a' et b' sont sur la sphère)
On considère alors un chemin en ligne droite allant de a' à b' (via éventuellement un point c') dans la boule.
On concatène a -> a' -> ( c' -> ) b' -> b qui est un chemin entièrement contenu dans O\{x}.

Bonjour !
Si on tient à paramétrer le chemin il sera plus simple de choisir une norme où les boules sont des "parallélépipèdes" : "rester sur la sphère" est alors très simple.