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ouvert de R^2
Bonjour,
je viens de construire un ouvert de
, défini comme ceci
.
Pour rappel,
Cependant, je n'arrive pas à montrer que c'est un ouvert de , c'est à dire :
Merci pour votre aide.
Bonsoir
tu peux peut-être faire une disjonction de cas
en fonction du quadrant dans lequel se situe ton u de départ
Bonsoir,
Peut-être aussi remarquer que ton ensemble est l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue...
Il est beaucoup plu simple de montrer que F := 
² \ X est fermé .
F est l'ensemble des (x , y) tels que x > 0 et 2xy 
1
Soient u , v 2 suites à valeurs dans telles que pour tout n on ait u(n) > 0 et 2 u(n)v(n) 0 et telles que u 
a et v b .
On a donc 2ab 1 et a 0 .
Mais alors a ne peut être nul et donc (a, b) 
F .
Il est beaucoup plus simple de
L'ensemble peut se ré écrire comme l'union de A et B, où
C'est pas clair son symbole dans la définition de X. En tout cas l'écriture n'est pas coutumière.
perso je comprends que appartient à X ssi
() ou si (
et ,
)
et dans cas @foxdevil me semble avoir raison car le cas entre dans l'écriture de B.
je ne comprends toujours pas ...
on considère les couples (x, y) de R^2
1/ soit et on fait quoi ?
2/ soit et on prend les (x, y) tels que
1/ nous dit que tout couple (x, y) avec appartient à X ??
2/ nous dit que tout couple (x, y) avec appartient à X
@Foxdevil dit que autrement dit son complémentaire
i.e
On retrouve bien l'ensemble F de ton message 8:43
Salut
Mon ensemble X est parfaitement défini, c'est quoi le problème? En tout cas mon exo est résolu avec la solution d'etniopal
Je reviens sur la méthode proposée par Foxdevil, les ensembles A et B sont les images réciproques d'ouverts par une fonction continue.
Il faut trouver la fonction, montrer qu'elle est continue, et de plus, montrer que ces ensembles qui ont pour images récitproques A et B, sont des ouverts. Ca me semble plus long et plus ardu...
Je reviens sur la méthode proposée par Foxdevil, les ensembles A et B sont les images réciproques d'ouverts par une fonction continue.
Il faut trouver la fonction, montrer qu'elle est continue, et de plus, montrer que ces ensembles qui ont pour images récitproques A et B, sont des ouverts. Ca me semble plus long et plus ardu...
Il faut trouver la fonction ....... d'abord c'est fonctions (une pour A et une pour B) et elles sont évidentes à voir
montrer qu'elle est continue........... des fonctions polynomiales, on sait que c'est continue...
que ces ensembles qui ont pour images réciproques A et B, sont des ouverts ....
et bien ceux sont des intervalles ouverts.
Je crois que tu n'as pas compris pour dire que c'est plus long et plus ardu, parce que une fois que que tu as écris
Et puis, il ne vaut mieux pas comparer en
salut
Foxdevil : es-tu sur de A ? (j'y aurai mis une inégalité large)
.
1/ nous dit que tout couple (x, y) avec x \le 0 appartient à X ??
2/ nous dit que tout couple (x, y) avec 2xy < 1 appartient à X
Une implication A => B signifie non A ou B. Du coup, son ensemble couvre les différentes situations exactement comme tu l'as décrit.
Pour le 2) il manque juste la condition x>0.
Il faut trouver la fonction, montrer qu'elle est continue, et de plus, montrer que ces ensembles qui ont pour images récitproques A et B, sont des ouverts. Ça me semble plus long et plus ardu...
Le seul "tilt" est de penser à la bonne fonction, et elle est quand même ultra-suggérée par la définition de l'ensemble. Pour la continuité, on a du polynomial (difficile de faire plus simple niveau continuité....). Les ensembles dont on prend l'image réciproque sont respectivement
XZ19: Ah! on s'est croisé!
Bah du coup je plussoie, on a dit tout pareil 
C'est pas clair son symbole dans la définition de X. En tout cas l'écriture n'est pas coutumière.
Si je prends
et la fonction , on a
et
est un ouvert, maitenant il me faut montrer que $f$ est continue et c'est ici que ça se gâte pour moi (je n'ai pas encore vu le module "calcul différentiel")...
Correction :
Si je prends
et la fonction
Ok....mais au juste, pourquoi tu prends cette fonction là? 😳
Ensuite, attention on ne prend pas une image directe d'un ouvert pour conclure que A est ouvert.
Donc là, oui on a dit le même ( sauf que quand je vois mes fautes de frappes!!!)
sinon en relisant, je pense qu'@etnopial a voulu dire que c'est plus simple de faire comme il a dit, ceci en comparaison avec le fait que @mousse42 voulait montrer que X est ouvert en exhibant pour chaque élément u de X une boule centrée en u est incluse dans U.
Alors on, peut y arriver mais c'est plus pénible à faire.
attendez lorsque vous dites que c'est évident pour vous peut être, la continuité de de
dans
pas de soucis, mais lorsqu'il s'agit de fonctions de
dans
, je n'ai aucun résultats sur lesquels je peux m'appuyer...
Ensuite, attention on ne prend pas une image directe d'un ouvert pour conclure que A est ouvert.
Tu as simplement la fonction évidente
attendez lorsque vous dites que c'est évident pour vous peut être, la continuité de f de \R dans \R pas de soucis, mais lorsqu'il s'agit de fonctions de \R^n dans \R^n, je n'ai aucun résultats sur lesquels je peux m'appuyer...
sinon en relisant, je pense qu'@etnopial a voulu dire que c'est plus simple de faire comme il a dit, ceci en comparaison avec le fait que @mousse42 voulait montrer que X est ouvert en exhibant pour chaque élément u de X une boule centrée en u est incluse dans U.
Alors on, peut y arriver mais c'est plus pénible à faire.
Bonjour
Si tu n'a pas encore étudié les fonctions à plusieurs variables, c'est assez normal que tu n'ai pas trouvé cela évident. Par la suite tu verras que c'est le cas mais tu peux comprendre dès maintenant en grande partie si on t'explique un peu:
D'abord, attention ici, les fonctions évoquées sont des fonctions de vers
J'explique maintenant pour
On où
est définie par
f(x,y)=2 xy. C'est une fonction polynomiale, elle est continue sur
Pour t'en convaincre et pour faire simple, tu considères
une suite quelconque de
qui converge vers
je pense que tu es d'accord que la suite
converge 2a b =f(a,b), ce qui est explique que f est continue en (a,b) et donc sur
Finalement B est l'image réciproque d'un ouvert de (ici
) par l'application continue f , B est donc un ouvert de
Nota: On pourra remarquer que la topologie a été passée sous silence.
je te remercie XZ19, en effet j'ai très peu manipulé ce genre de fonctions pour le moment, merci pour ces informations, j'ai également trouvé cette fonction de mon coté, il me restait à montrer rigoureusement qu'elle soit continue, chose pas facile lorsque l'on utilise la définition, avec les suites c'est beaucoup plus simple, merci !!
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