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Ouvert et application réciproque
Bonsoir,
je n'arrive pas à démontrer que si est un ouvert alors
est aussi un ouvert (avec f continue)
Je prend un élément de
donc
avec
un élément de
.
Mais puisque est ouvert quelque soit l'élément
de
, il existe un rayon
strictement positif telle que la boule de centre
et de rayon
soit incluse dans l'ensemble
:
Donc il existe un intervalle du type inclus dans
.
Or d'ou
Et la je bloque, je ne sais même pas si je suis bien partit!
(Re)bonsoir H_aldnoer
On travaille dans ou dans
avec n quelconque (remarque, ça ne va pas changer grand chose) ?
Kaiser
Euh.. ce n'est pas la définition d'une application continue?
Peut-être! En tout cas ça y ressemble fortement!
Mais bon moi je me contente de répondre à la question posée initialement.
La seule chose qui change c'est les boules. Ici, on aura affaire à des intervalles.
Mais sinon ça ne change absolument rien.
Bref, passons.
Dans ce genre d'exo, il faut vraiment repasser par la définition de la continuité.
Tu as bien commencé.
À ce niveau, utilise la continuité de f en avec ce
.
Kaiser
Puisque f est continue en
quelque soit strictement positif, il existe un
strictement positif telle que
?
C'est pas forcément le même .
N'oublie pas qu'il y a un qui est apparu.
Pourquoi ne pas s'en servir ?
Kaiser
Donc on va prendre la boule de centre et de rayon
(on sait qu'il existe car f est continue).
Si est un élément de cette boule on aura que :
Et comme f continue en
quelque soit
strictement positif.
Mais pourquoi cette boule est elle incluse dans !
Par définition, y appartient à si et seulement si f(y) est dans U.
Considère alors y dans la boule de centre et de rayon
et montre que f(y) est dans U en utilisant la définition de
.
Kaiser
est continue sur
si et seulement si
ouvert de
,
est un ouvert de
est assez simple à démontrer en supposant f continue..
David 
Soit donc appartenant à la boule de centre
et de rayon
.
Alors
Donc appartient à la boule de centre
et de rayon
, cette même boule qui est incluse dans U.
Donc c'est ouvert !!
Blackdevil> je ne comprends pas. Tu veux montrer que f est continue en supposant f continue 
ou alors j'ai pas compris ce que tu voulais dire.
Par contre, ton équivalence est vraie.
H_aldnoer> C'est tout à fait ça.
Kaiser
Oups 
J'ai du mal m'exprimer c'est montrer que l'image réciproque de O est un ouvert en supposant f continue, sinon effectivement 
^
David
Quoi que je ne suis pas sur de ma démonstration,
Si on suppose f: A-->B continue et U un ouvert de B, b un point de U et a un point de l'image réciproque de U avec f(a)=b .
Sachant que U est ouvert, c'est un voisinage de a.
La je doute.. si on considère que x est choisie au hasard dans f^-1(U) alors f^-1(U) est un voisinage de chacun de ces points.
D'ou l'image réciproque de U est un ouvert de X (en utilisant qu'un sous ensemble X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.)
Sans certitude :s
David
C'est tout à fait ça.
D'ailleurs, c'est exactement l'analogue de ce qui a été fait plus haut ( il suffit de remplacer les boules par les voisinages).
Kaiser
Merci kaiser c'est ce qui me semblait mais c'est quand même nettement plus "joli" avec les boules 
(le "x est choisie au hasard" ne me convainc pas tant que ça )
Merci pour tout kaiser et bonne soirée, 
David
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