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Ouvert-fermé d’un espace vectoriel normé
Bonjour,
Comme le titre l'indique, mon exo me demande de déterminer les ouverts-fermés d'un evn E. Pour un espace vectoriel normé on intuite facilement qu'il n'y a que E et l'ensemble vide (je crois que pour un espace topologique en général ce n'est plus vrai).L'exo demande en plus d'utiliser la fonction caractéristique. Je raisonne par l'absurde et je suppose qu'il existe un sous espace F de E ouvert-fermé qui soit différent du vide et de E. Alors la frontière de F est vide (par définition ) et on voit bien que la fonction caractéristique de F est continue en un point si et seulement si ce point n'est pas dans la frontière donc la fonction caractéristique de F est continue sur E.
Ensuite, je vois bien que la contradiction a à voir avec les valeurs que prend la fonction caractéristique : j'aimerais bien qu'elle est constante pour aboutir à la contraction par définition de F…
Merci de votre aide
PS : toute autre méthode de résolution m'intéresse si vous en avez, je trouve celle là pas très intuitive 
Un espace vectoriel n'est jamais vide, il contient toujours au moins 0!
Aussi, tu te places en dimension finie, il faut le préciser 
Est-ce qu'un sev de dimension finie est toujours fermé ?
Si F est un sev ouvert, pour tout , il existe une bourle (pour la distance induite par la norme), de rayon
tel que B(x,r) soit totalement incluse dans F.
N'importe quel multiple d'un élément de cette boule est aussi dans F parce que F est un espace vectoriel...
Je te laisse conclure
Oui excusez moi l'espace nul sinon ça n'a aucun sens..
Mon énoncé ne précise pas que l'espace soit de dim finie, le résultat ne me parait pas faux en dim infinie non ?
En dim finie, on aboutit avec votre méthode à F=E puisque tout élément x de E peut s'écrire de la forme x=ky avec k un scalaire bien choisi et y dans F qui est un ev ce qui permet de conclure.
Mais en fait votre raisonnement est : Si F est un sev ouvert de E, alors F=E. Votre raisonnement peut donc s'utiliser en dim infinie et donc de résoudre mon exercice même si on utilise pas que F est fermé..
Pensez- vous que mon raisonnement par l'absurde peut fonctionner ?
Tu auras compris qu'on peut prendre x = 0 et r = 1 par dilatation, et que tout élément peut s'écrire
. Le vecteur entre parenthèses étant un élément de la boule unité.
Un sev ouvert de E est toujours égal à E et ça marche en toute dimension MAIS attention : on est dans le cas spécial où E est un espace topologique dont la topologie provient d'une norme 
Plus généralement, cet argument fonctionne dans n'importe quel evn E et pour n'importe quel sous-espace F de E qui n'est pas d'intérieur vide.
Pour ton truc avec l'indicatrice, je ne suis pas certain d'avoir bien compris ton raisonnement
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