Salut,
c est quoi ta fonction continue?

Salut,

Attention pour le 3 un ouvert peut etre compact!! essaie de trouver une suite qui n'aadmet pas de valheur d'adherence.

Pour X1 et X2 il te suffit de prouver qu'ils sont bornés (ou pas) pour x1 ce devrait etre assez simple d'exiber un point de norme aussi grand que tu veux. Pour X2 essaie de montrer que x et y sont forcément compris dnas un segment et tu auras le carractère borné

Salut Rodrigo,

il ne me semble pas que dans , un ouvert peut etre compact.

Non pas dans R^2 (sauf le vide je sais pas si on le considère comme compact lui ou pas) Mais sur [0,1] u [2,3] par exemple muni de la topologie induite par celle de R, alors [0,1] est ouvert et compact.

Mais je disais juste que la justification ouvert donc non compact est fausse en genéral, il faut un argument de plus (connexité par exemple dans un espace non compact)

Comme on est dans R² (dimension finie) je me suis dit que les ouverts ne peuvent pas être compacts. N'est ce pas?
De plus comment je trouve cette suite?

tu prends la suite de points de X3,

sa seule valeur d'adhérence est 6, qui n'est pas dans X3.

Pour X1 tu pêut par exemple remarque que les points (3n, sqrt(9n²-2)) sont tous dans X1 et que donc X1 est non borné (au passage cette suite n'admet ap de valeur d'adherence).

OUi dans R^2 il n'y pas d'ouverts compacts mais ce n'est pas à cause de la dimension (c'est toujours vrai en dimension infinie)  c'est à cause de la connexité de l'espace

X₁ = X₁^-1(]-,6])
X₂ = X₂^-1(]-,6])
X₃ = X₃^-1(]-,6[)

Pourquoi précisément ces suites? Je les trouve comment?

Ben il faut intuiter un peu, tu peu t'aider avec un dessin pour le 2x²-3y² il est clair que si tu prend x grand tu pourras prendre y grand tel que 2x²-3y²=6 et donc que (x,y) soit dans ton ensemble, alors tu prend pour x une suite qui tend vers l'infini x=n par exemple (ici j'ai prix 3n pour que ca se simplifie avec le 3y² mais ca n'a aucune importance) et tu calcule le y correspondant.

Pour le x²+y²<6 tu prend des points tel que x²+y² tende vers 6 par exemple x=\sqrt(6-1/n), y=0 en faisnat tendre n vers l'infini (x,y) tend vers (sqrt(6),0) qui n'est pas dans l'ensemble, l'exemple de romu utilise la meme idee

D'accord, Merci bcp à tous les deux!

tu prends une suite de points de X3 telle que son image par l'application continue converge dans R vers 6,
donc on a une suite de points de X3 qui converge dans R^2 vers (a,b), tel que a²+b² = 6.

(a,b) est le seul point de R^2 qui a pour chacun de ses voisinages un terme d'indices arbitrairement grand de la suite .


Comme les voisinages dans X3 d'un point x de X3 sont  les traces sur X3 des voisinages dans R^2 du point x, (a,b) est le seul candidat possible

Mais (a,b) n'est pas dans X3, on exhibe ainsi une suite sans valeur d'adhérence dans X3.

ah désolé, j avais pas vu que rodrigo avait déjà répondu