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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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ouverts, fermés et opérations

Posté par
jbsph
20-10-23 à 09:38

Bonjour. Il y a deux choses que je ne comprends pas dans mon cours de topologie.
La première (je voudrais être certain d'avoir bien compris): sur un espace métrique séparé tout singleton est fermé. Or dans l'espace métrique muni de la métrique discrète (deux points distincts sont à une distance strictement positive l'un de l'autre) tout les singletons sont des ouverts. Mais le complémentaire d'un singleton est aussi ouvert dans cette métrique. Donc les singletons sont ouverts et fermés pour la topologie discrète? Ce qui coïncide bien avec la proposition des singletons fermé sur une topologie séparée ?
La seconde (là je ne comprends pas): Une propriété affirme que dans un espace topologique, une intersection quelconque de fermés est fermée. (Ce que je comprends car le complémentaire d'un fermé et ouvert, les lois de Morgan interviennent, et l'union quelconque d'ouvert est ouvert et le complémentaire d'un ouvert est fermé). Or le cours montre l'exemple de l'intersection dénombrable (donc quelconque) sub]n*[/sub] [-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] = ]-1,1[. Nous sommes dans muni de la métrique valeur absolue, donc dans un espace topologique et on trouve qu'une intersection quelconque de fermés est ouverte, je ne comprends pas ...

malou edit > ** post modifié en mettant l'intersection**seul un modérateur peut le faire**

Posté par
jbsph
re : ouverts, fermés et opérations 20-10-23 à 09:52

Oups j'ai utilisé le symbole union pour décrire une intersection. Peut-on modifier un post ?

Posté par
Ulmiere
re : ouverts, fermés et opérations 20-10-23 à 11:49

Bonjour,

pour 1), il est possible pour une partie d'un espace topologique d'être à la fois ouverte et fermée. C'est par exemple toujours le cas de l'espace lui-même et de l'ensemble vide, qui sont par définition des ouverts, et dont les complémentaires sont ouverts aussi.
Il y a une erreur dans ta définition d'un espace séparé (Hausdorff, T2). Ca ne veut pas dire que deux points distincts sont à distance positive (ce qui est toujours vrai, par défintion d'une distance), mais simplement que pour chaque paire de points distincts x et y, il existe deux voisinages ouverts V et W (ou des boules ouvertes de rayon > 0, dans un espace métrique) tels que V ∩ W = ∅.

Pour la topologie discrète, c'est le cas, il suffit de prendre des boules de rayon 1/2 vu que toute paire de points distincts a une distance entre eux égale à 1.
Tout singleton {x} est à la fois ouvert et fermé, parce qu'il correspond au disque de centre x de rayon 1/2, qu'il soit ouvert ou fermé. Une autre manière de voir que {x} est fermé est de prendre son complémentaire X\{x} et de constater que pour n'importe quel point y, de ce complémentaire, la boule de centre y et de rayon 1/2 est entièrement incluse dans X\{x}. Une autre façon encore de voir les choses, dans un espace métrique, est de dire qu'une suite à valeurs dans {x} est forcément constante, donc converge, et donc l'adhérence dans X de {x} est {x} lui-même.



pour 2), tu t'es emmêlé les pinceaux avec intersection et union. Si j'appelle I_n = [-1+1/n, 1-1/n], alors I = \bigcap_{n=1}^\infty I_n est un ensemble en particulier inclus dans I_1 = [-1+1, 1-1] = \{0\}. Donc I est soit vide soit égal à {0}, mais dans les deux cas, c'est un fermé. Il se trouve que I = \{0\} parce que (I_n) est une suite croissante pour la relation d'inclusion.
En revanche, c'est vrai que la réunion (dénombrable) des I_n est égale à ]-1,1[. L'inclusion \subseteq est claire. L'autre consiste à prendre -1 < x < 1 et à dire que 1-1/n \to 1 lorsque n\to\infty, donc par définition (epsilonesque si tu veux), il existe un rang N à partir duquel x appartient à tous les I_N. En particulier x appartient à I_N donc il appartient à la réunion de tous les I_n.
La réunion n'est effectivement pas un fermé. Si elle en était un, elle serait ce qu'on appelle un F_\sigma

Posté par
jbsph
re : ouverts, fermés et opérations 22-10-23 à 19:22

Tu as complétement raison, j'ai confondu être un espace topologique séparé et avoir une distance str positive entre deux points. ((Mais en fait un espace métrique est forcément séparé, bon je le savais pas^^)).
Super, tous tes exemples répondent parfaitement à mes interrogations !!

Ah oui je suis parti du principe que l'intersection était la limite, alors que la limite est l'union sachant que la famille est croissante.

Merci beaucoup pour tes réponses très détaillées, j'ai bien compris ce qui me paraissait flou !

Posté par
Ulmiere
re : ouverts, fermés et opérations 22-10-23 à 19:35



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