Bonjour.

Question isolée ou faisant partie d'un texte sur les produits scalaires ?

Correction : c'est n+1 racines distinctes.

Cette question fait partie d'un problème sur les formules de quadrature. L'énoncé complet est :
A=v0+v1*X+...vn*X^n+X^(n+1). Mais je pense que ça n'apporte rien de plus...

L'hypothèse donnée : pour tout m entre 0 et n signifie par combinaison linéaire que :

pour tout polynôme Q dans R_n[X],

Cela étant, si P ne s'annulait pas entre 0 et 1, il garderait un signe constant sur [0,1] et l'intégrale ne pourrait être nulle. P admet donc des racines d'ordres impairs (afin de changer de signe) entre 0 et 1. Soient a₁ , ... , a_k ses k racines d'ordres impairs.



R est un polynôme dont les racines sont soit d'ordre pair dans [0,1] soit à l'extérieur de [0,1] soit complexes.

Prenons le polynôme

Si P n'a pas toutes ses racines dans [0,1], alors Q est dans R_n[X]. Donc :



Or, le produit P(t).Q(t) ne contient que des racines paires entre 0 et 1, donc ne change pas de signe sur [0,1]. Alors la nullité de l'intégrale est impossible. Conclusion :

P a toutes ses racines dans [0,1]

Waou c'est vraiment pas bête merci beaucoup!