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Niveau Maths sup
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P'tit exo "Espace Vectoriel"

Posté par Poun (invité) 25-02-07 à 22:18

bonsoir!

E=n
F={(x1,...,xn),(i=1 à n)=0}
G=Vect{(1.1..1)}

Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.

Pouvez-vous m'indiquer un point de départ, svp ?

Merci

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 22:20

Bonsoir,

F est un hyperplan,donc si tu prend (1,1,1) en dehors de cet hyperplan alors E=F+R(1,1,1).

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 22:26

Bonsoir à tous

on peut aussi dire que ces deux espaces sont orthogonaux et c'est terminé.

Kaiser

Posté par Poun (invité)re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:02

faut que je revoie les hyperplans
merci vous deux

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:11

De rien

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:14

Pour ma part, je t'en prie !

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:16

Bonjour

Des hyperplans ? Kesako ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo 25-02-07 à 23:19

Salut Kévin

Tu sais ce qu'est un espace vectoriel et ce qu'est un corps ?

Kaiser

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:19

Un corps oui mais un espace vectoriel non

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:30

Je viens de regarder sur le net j'ai la définition de l'espace vectoriel (pourquoi "exo"distributive ?).

Je poserais mes questions demain là je vais essayer de rattraper mes heures de sommeil manquantes

Bonne soirée Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:34

OK !
Soit \Large{(\mathbb{K},+,*)} un corps et E un ensemble.
On dit que \Large{(E,+,.)} est un \Large{\mathbb{K}}-espace vectoriel si

1) (E,+) est un groupe commutatif
2) l'opération . définie une application qui va de \Large{\mathbb{K}\time E } dans E qui à un couple \Large{(\lambda, x)} associe un élément \Large{\lambda.x} de E qui vérifie les 4 propriétés suivantes
pour tous x, y dans E et pour tous \Large{\lambda} et \Large{\mu} dans \Large{\mathbb{K}}.

\Large{i)\rm{ } \lambda.(x+y)=\lambda.x+\lambda.y}
\Large{ii)\rm{ } (\lambda + \mu).x=\lambda.x+\mu.x}
\Large{iii)\rm{ } \lambda.(\mu.x)=(\lambda * \mu).x}
\Large{iv)\rm{ } 1_{\mathbb{K}}.x=x}


Jusque là, tout va bien ?

Kaiser

P.S : il faut bien remarquer une chose : j'ai noté de la même manière les deux lois + du corps et de E mais a priori, elle n'ont rien à voir : c'est simplement pour ne pas alourdir les notations.

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:34

OK, bonne nuit !

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:36

Jusque là tout va bien

Mais à quoi "servent" les espaces vectoriels ? Quels en sont les propriétés intéressantes ?

Merci Kaiser

Je lirais la suite demain !

Kévin.

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:47

ça serait difficile (et surtout très long ) de t'expliquer tous les détails mais la théorie des espaces vectoriels permet de simplifier des problèmes.
Deux exemples parmi tant d'autres :

1) On peut exprimer simplement et de manière générale les solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants de n'importe quel ordre en se ramenant simplement à la résolution d'une équation polynomiale

2) dans le même ordre d'idées, on peut faire la même chose avec les suites récurrentes linéaires.

Kaiser

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:50

Ok, est-ce que ça a un rapport avec les équations caractéristiques dans les equa-diff (peut-être ce que tu appelles "résolution d'une équation polynomiale"?)

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:51

c'est tout à fait ça !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:52

d'ailleurs, je suis sûr que pour la résolution des équations du deuxième ordre, on vous a balancé la solution comme ça, sans explications.
eh bien cette théorie lève le voile sur ce mystère !

Kaiser

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:53

D'accord merci

Et à partir de là comment on caractérise un hyperplan ? (ça sonne bien )

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:54

Oui comme la plupart des choses qu'on nous balance on nous dit pas d'où ça vient

Je vais me renseigner

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:55

Un hyperplan c'est un sous-espace de ton espace vectoriel de dimension maximale.

Par exemple dans R^3,c'est un plan.

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 25-02-07 à 23:56

De dimension maximale ?

Posté par
Nightmare
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:00

Si tu appelles n la dimension de ton ev, la dimension maximale d'un sev est n-1.

On dit aussi qu'un hyperplan est un sev de codimension 1.

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:00

Et bien en fait un espace vectoriel ca a une dimension,c'est le nombre de vecteurs nécessaires pour engendrer cet espace cad que tout élément s'ecrive comme une combinaison de ses vecteurs générateurs.

Petit exemple dans R^3 on a besoin que de 3 vecteurs(directions) pour engendrer tout l'espace.

Et bien un sous-espace de dimension 2 est un hyperplan tu peux pas prendre plus gros sinon tu as tout l'espace.

Ici c'est donc un plan qui n'a besoin que de deux vecteurs u et v pour etre engendré.

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:00

Ah ben oui j'aurais du m'en douter avec l'exemple de Cauchy

Merci Jord

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:02

Merci Cauchy

Posté par
Nightmare
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:03

Si tu as compris, peux-tu citer un hyperplan de C (en tant que R-ev) ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo 26-02-07 à 00:04

Pour l'hyperplan, il y a encore des trucs à dire avant !
il faut d'abord dire ce que est une application linéaire

Si E et F sont des \Large{\mathbb{K}}-espaces vectoriels et f une application de E dans F, alors on dit que f est une application linéaire si pour tous x et y dans E et tout \Large{f(\lambda.x+y)=\lambda.f(x)+f(y)}
On note alors \Large{Ker(f)=\{x\in E / f(x)=O_{F}\}}.
On l'appelle le noyau de f.

On vérifie assez facilement que le corps \Large{\mathbb{K}} peut être muni d'une structure de \Large{\mathbb{K}}-espace vectoriel avec les lois qu'on imagine.

Dans la définition précédente d'une application linéaire, si F est le corps \Large{\mathbb{K}}, alors on dit f est une forme linéaire.

Voici enfin la définition d'un hyperplan.

Si E est un espace vectoriel alors H est un hyperplan s'il existe une forme linéaire définie sur E et non identiquement nulle tel que \Large{H=Ker(f)}.

ça va ?
ça fait beaucoup de choses en une seule fois ?

Kaiser

Posté par
Nightmare
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:05

Lol, l'artillerie lourde

Salut Kaiser

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:05

Oui la on est parti à tout redéfinir Kevin prend ton pavé et regarde dedans c'est surement bien fait

Posté par
infophile
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:08

Oui je vais faire comme Cauchy me propose et je reviens vous voir en cas de pépin

Bon cette fois j'y vais sinon ça va faire mal demain...

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:09

Salut Nightmare !

Citation :
Lol, l'artillerie lourde


Ben oui, comme d'hab !

Kaiser

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:10

Dans 5 minutes on passe à la dualité

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:11

Cauchy > on peut même tout de suite passer à la réduction de Jordan si tu veux !

Kaiser

Posté par
Nightmare
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:14

Ah, on parle de moi ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo 26-02-07 à 00:15

Au moment d'écrire mon message, ça m'a fait effectivement penser à toi (sauf que ça ne se prononce pas de la même manière )

Kaiser

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:17

Tiens effectivement je me demandais Jordan ca se dit bien à la francaise meme si pas mal de profs le disent à l'anglo-saxonne?

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:19

oui ça se prononce à la française !

Kaiser

Posté par
fusionfroide
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:20

Marie Ennemond Camille Jordan


:D

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:23

Et bien la prochaine fois je ferais la remarque au prof

Mais bon en ce moment je le vois pas trop il a fait quoi a part la réduction ou le truc sur les courbes?

Posté par
kaiser Moderateur
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:24

Absolument aucune idée !

Kaiser

Posté par
fusionfroide
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:25



Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 26-02-07 à 00:27

Il cite ce à quoi je pensais et j'avais en effet omis Jordan Holder.

Posté par Poun (invité)re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:15

Cauchy, est-ce que tu peux m'expliquer un peu plus stp? car j'ai du mal à "voir" cet exo
je vois bien une somme=0 donc l'intervention d'un certain noyau..

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:16

On voit pas bien en fait il y a quoi dans ta somme?

Posté par Poun (invité)re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:19

oui pardon,

xi=0
(i=1 à n)

Merci.

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:25

C'est une forme linéaire on est d'accord?

Donc F est le noyau d'une forme linéaire non nulle donc un hyperplan.

Le vecteur (1,1,....) n'est pas dans F donc R(1,1,...1) est un supplémentaire de F.

Posté par Poun (invité)re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:52

Le vecteur (1,1,....) n'est pas dans F  car x1...xn sont des vecteurs différents ?!

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:56

Car 1+1+...1=n et pas 0

Ou sinon tu donne l'argument de kaiser qui est expéditif

Posté par Poun (invité)re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 21:58

le fait que F et G soient orthogonaux ?

Posté par
Cauchy
re : P'tit exo "Espace Vectoriel" 03-03-07 à 22:02

Oui pour le produit scalaire usuel

Tu as compris ma méthode c'est bon?

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