bonsoir!
E=n
F={(x1,...,xn),(i=1 à n)=0}
G=Vect{(1.1..1)}
Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.
Pouvez-vous m'indiquer un point de départ, svp ?
Merci
faut que je revoie les hyperplans
merci vous deux
OK !
Soit un corps et E un ensemble.
On dit que est un -espace vectoriel si
1) (E,+) est un groupe commutatif
2) l'opération . définie une application qui va de dans E qui à un couple associe un élément de E qui vérifie les 4 propriétés suivantes
pour tous x, y dans E et pour tous et dans .
Jusque là, tout va bien ?
Kaiser
P.S : il faut bien remarquer une chose : j'ai noté de la même manière les deux lois + du corps et de E mais a priori, elle n'ont rien à voir : c'est simplement pour ne pas alourdir les notations.
Jusque là tout va bien
Mais à quoi "servent" les espaces vectoriels ? Quels en sont les propriétés intéressantes ?
Merci Kaiser
Je lirais la suite demain !
Kévin.
ça serait difficile (et surtout très long ) de t'expliquer tous les détails mais la théorie des espaces vectoriels permet de simplifier des problèmes.
Deux exemples parmi tant d'autres :
1) On peut exprimer simplement et de manière générale les solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants de n'importe quel ordre en se ramenant simplement à la résolution d'une équation polynomiale
2) dans le même ordre d'idées, on peut faire la même chose avec les suites récurrentes linéaires.
Kaiser
Ok, est-ce que ça a un rapport avec les équations caractéristiques dans les equa-diff (peut-être ce que tu appelles "résolution d'une équation polynomiale"?)
d'ailleurs, je suis sûr que pour la résolution des équations du deuxième ordre, on vous a balancé la solution comme ça, sans explications.
eh bien cette théorie lève le voile sur ce mystère !
Kaiser
Oui comme la plupart des choses qu'on nous balance on nous dit pas d'où ça vient
Je vais me renseigner
Un hyperplan c'est un sous-espace de ton espace vectoriel de dimension maximale.
Par exemple dans R^3,c'est un plan.
Si tu appelles n la dimension de ton ev, la dimension maximale d'un sev est n-1.
On dit aussi qu'un hyperplan est un sev de codimension 1.
Et bien en fait un espace vectoriel ca a une dimension,c'est le nombre de vecteurs nécessaires pour engendrer cet espace cad que tout élément s'ecrive comme une combinaison de ses vecteurs générateurs.
Petit exemple dans R^3 on a besoin que de 3 vecteurs(directions) pour engendrer tout l'espace.
Et bien un sous-espace de dimension 2 est un hyperplan tu peux pas prendre plus gros sinon tu as tout l'espace.
Ici c'est donc un plan qui n'a besoin que de deux vecteurs u et v pour etre engendré.
Pour l'hyperplan, il y a encore des trucs à dire avant !
il faut d'abord dire ce que est une application linéaire
Si E et F sont des -espaces vectoriels et f une application de E dans F, alors on dit que f est une application linéaire si pour tous x et y dans E et tout
On note alors .
On l'appelle le noyau de f.
On vérifie assez facilement que le corps peut être muni d'une structure de -espace vectoriel avec les lois qu'on imagine.
Dans la définition précédente d'une application linéaire, si F est le corps , alors on dit f est une forme linéaire.
Voici enfin la définition d'un hyperplan.
Si E est un espace vectoriel alors H est un hyperplan s'il existe une forme linéaire définie sur E et non identiquement nulle tel que .
ça va ?
ça fait beaucoup de choses en une seule fois ?
Kaiser
Oui la on est parti à tout redéfinir Kevin prend ton pavé et regarde dedans c'est surement bien fait
Oui je vais faire comme Cauchy me propose et je reviens vous voir en cas de pépin
Bon cette fois j'y vais sinon ça va faire mal demain...
Au moment d'écrire mon message, ça m'a fait effectivement penser à toi (sauf que ça ne se prononce pas de la même manière )
Kaiser
Tiens effectivement je me demandais Jordan ca se dit bien à la francaise meme si pas mal de profs le disent à l'anglo-saxonne?
Et bien la prochaine fois je ferais la remarque au prof
Mais bon en ce moment je le vois pas trop il a fait quoi a part la réduction ou le truc sur les courbes?
Cauchy, est-ce que tu peux m'expliquer un peu plus stp? car j'ai du mal à "voir" cet exo
je vois bien une somme=0 donc l'intervention d'un certain noyau..
C'est une forme linéaire on est d'accord?
Donc F est le noyau d'une forme linéaire non nulle donc un hyperplan.
Le vecteur (1,1,....) n'est pas dans F donc R(1,1,...1) est un supplémentaire de F.
Le vecteur (1,1,....) n'est pas dans F car x1...xn sont des vecteurs différents ?!
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