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Paramétrisation ellipse

Posté par
HacH 07-05-16 à 16:25

Bonjour,

Voici un exercice dont j'ai du mal à trouver de l'aide en faisant des recherches sur google :

1) Determiner une parametrisation \alpha de l'ellipse E dans \R^2 d'equation
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;
ou a > 0; b > 0.
2) Donner l'equation de la tangente de E en point (x_0; y_0) de E.
3) Calculer le rayon de courbure et le centre de courbure en tous points de
l'ellipse(rappeler d'abord les de ntions).
4) Calculer l'aire de la surface limite par l'ellipse E.
5) Pour a = b > 0, calculer l'abscisse curviligne ds de E d'origine (a; 0)(rappeler
d'abord la de ntion), puis la longeur de E.

Voici mes réponses ainsi que les questions que je me pose pour chaque réponse :

1) Réponse : La paramétrisation de l'ellipse est \alpha(t)=(a.cos(t);b.sin(t))
Soucis : Sachant qu'il y a marqué "déterminer" je ne sais pas comment montrer cette égalité. Je la connais par cœur en cherchant la démonstration sur le net. La seule chose que j'ai trouvé comme démonstration c'est "posons \alpha(t)=(a.cos(t);b.sin(t)) et montrons que c'est une paramétrisation". Cette démonstration ne me plait pas trop car j'ai l'impression que le résultat est sorti d'un chapeau. En fait, je veux partir du principe que je ne connais pas la réponse, comment je l'aurais trouvé ?

2) Pour cette question je ne sais pas quelle équation donner : la cartésienne que je connais par cœur en ayant cherché sur le net (sorti du chapeau aussi) où la paramétrique que je sais trouvé à partir de la paramétrisation \alpha(t).
Réponse 1 :  L'équation cartésienne de la tangente pour l'ellipse en (x_0; y_0) est : \frac{xx_0}{b^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1
Réponse 2 : \alpha(t)=(a.cos(t);b.sin(t)) donc \alpha'(t)=(-a.sin(t);b.cos(t)).
Ainsi L'équation de la tangente T pour l'ellipse E à un instant t_0 est :

\left\lbrace\begin{matrix} x_{T,to}(t)=\alpha_x(t_0)+\alpha'_x(t_0)(t-t_0)=a.cos(t_0)-a.sin(t_0)(t-t_0)\\ y_{T,to}(t)=\alpha_y(t_0)+\alpha'_y(t_0)(t-t_0)=b.sin(t_0)+b.cos(t_0)(t-t_0) \end{matrix}\right.

3)Formule du rayon de courbure : R(t)=\frac{1}{|\varrho(t)|} , avec \varrho(t) la courbure algébrique définie par \varrho(t)=\frac{det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{||\alpha'(t)||^3_2}
Formule du centre de courbure : C(t)=\alpha(t)+R(t)n(t), avec n(t) le vecteur normal principal  définie par
n(t)=sign(\varrho(t)).\tau_1(t) , avec \tau_1(t) le vecteur normal unitaire définie par
\tau_1(t)=\mathscr{R}_{\pi/2}.\tau(t) , où \mathscr{R}_{\pi/2} est un rotation de \pi/2 et \tau(t) est le vecteur tangent unitaire définie par
\tau(t)=\frac{\alpha'(t)}{||\alpha'(t)||_2}

On a  \alpha''(t)=(-a.cos(t);-b.sin(t))   donc

\varrho(t)=\frac{ab}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}^3}

R(t)=\frac{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}^3}{ab} car a>0,b>0

\tau(t)=\frac{(-a.sin(t);b.cos(t))}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}}=(\frac{-a.sin(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}};\frac{b.cos(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}})

\tau_1(t)=(\frac{-b.cos(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}};\frac{-a.sin(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}})

n(t)=sign(\varrho(t)).\tau_1(t)=\tau_1(t)=(\frac{-b.cos(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}};\frac{-a.sin(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}})

Finalement le centre de courbure est C(t)=(a.cos(t);b.sin(t))+\frac{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}^3}{ab}(\frac{-b.cos(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}};\frac{-a.sin(t)}{\sqrt{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}})
C(t)=(\frac{(1+a^2)cos(t)-a^2sin^2(t)-b^2cos^2(t)}{a};\frac{(1+b^2)sin(t)-a^2sin^2(t)-b^2cos^2(t)}{b})

Et la j'ai cette sensation de l'étudiant qui ce dit "le résultat est trop complexe pour que le prof nous demande cela"

4) Réponse : L'aire vaut \mathscr{A}=\pi.a.b
Question : Faut-il vraiement marqué que cette ligne ? Où il y a t'il un raisonnement qu'il faut écrire avant de mettre ce résultat. Ce résultat je l'ai trouver sur le net sans démonstration.

5) Je sèche sur cette question je n'arrive pas à trouver de l'aide en cherchant sur google. La seule chose que j'ai trouvé par moi même c'est :

s(t)=\int_{t_0}^{t}{||\alpha'(u)||_2du}=\int_{t_0}^{t}{\sqrt{a^2sin^2(u)+b^2cos^2(u)}du} avec t_0 a déterminer.

On nous dit que le point d'origine est (a,0)
Donc on cherche t_0 tel que \left\lbrace\begin{matrix}a.cos(t_0)=a\\ b.sin(t_0)=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\lbrace\begin{matrix}cos(t_0)=1\\ sin(t_0)=0\end{matrix}\right \Rightarrow t_0=\frac{\pi}{2}

Donc s(t)=\int_{\pi/2}^{t}{\sqrt{a^2sin^2(u)+b^2cos^2(u)}du}=\int_{\pi/2}^{t}{\sqrt{a^2sin^2(u)+a^2cos^2(u)}du}=\int_{\pi/2}^{t}{\sqrt{a^2}du}=\int_{\pi/2}^{t}{adu}=[au]^t_{\pi/2}=at-\frac{\pi}{2}a

Le problème c'est qu'on me demande l'abscisse curviligne ds or l'abscisse curviligne dans le cours c'est s et non ds il me semble...

Voila, je serais très reconnaissant de l'aide que vous m'apporterez.
Bien respectueusement.

Posté par
Recomic35re : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 17:49

Si tu avais compris que cette paramétrisation de l'ellipse se déduit tout naturellement de la paramétrisation du cercle unité par les fonctions trigonométriques (changement de variable X=\dfrac{x}a, Y=\dfrac{y}b ), elle ne te semblerait pas sortie du chapeau.

Posté par
Recomic35re : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 17:50

Un conseil : navigue un peu moins sur le net et réfléchis un peu plus.

Posté par
HacHre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:33

Donc pour la première question : la réponse serait

On sait que X^2+Y^2=1 \Leftrightarrow X=cos(t) , Y=sin(t)
En posant X=\frac{x}{a} et Y=\frac{y}{b} on a \frac{x}{a}=cos(t) et \frac{y}{b}=sin(t) donc x=a.cos(t) et y=b.sin(t)

Ainsi, une paramétrisation \alpha est \alpha(t)(a.cos(t);bsin(t))

Faut-il démontrer la première équivalence ? Si oui je ne voit pas comment faire, je le vois que visuellement en traçant un schema du cercle de centre (0,0) de rayon 1.

Posté par
verdurinre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:41

Bonsoir,
pour la question 5) on donne a=b.
L'ellipse porte alors un nom particulier, que tu peux chercher dans ta tête : tu le connais.

Posté par
HacHre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:43

pour a=b je suppose que c'est un cercle de rayon a ?

Posté par
verdurinre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:44

Moi aussi.

Posté par
HacHre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:52

Je ne vois pas le rapport avec le fait que l'abscisse curviligne est s ou ds?

Posté par
alainpaulre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:56

Bonjour,

Il y a une erreur dans la formule donnée.

Deux coupes  d'un cône  , asin(t),bcos(t)  marchent  aussi pour l'ellipse.


Alain

Posté par
HacHre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 18:59

Bonjour Alain,

De quelle formule parlez vous?

Je n'ai pas compris la 2ème remarque.

Posté par
HacHre : Paramétrisation ellipse 07-05-16 à 19:22

Je rectifie un passage de la question 5 :

\left\lbrace\begin{matrix}a.cos(t_0)=a\\%20b.sin(t_0)=0\end{matrix}\right.%20\Rightarrow%20\left\lbrace\begin{matrix}cos(t_0)=1\\%20sin(t_0)=0\end{matrix}\right%20\Rightarrow%20t_0=0

du coup

s(t)=at


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