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Partage de puissance- 3e formule

Posté par
fabo34
25-08-22 à 17:10

Bonjour à tous,

Retour sur le partage de puissance impaire. On a déjà établi:

     (u+v)^{2m+1}=u.f_m(u^2,v^2)+v.f_m(v^2,u^2)
     (u+v)^{2m+1}=u.f_m(u,-v)^2+v.f_m(v,-u)^2
avec
    f_m(u,v)=\sum_{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}2m+1 \\ 2k\end{pmatrix} u^{m-k} v^{k}.

Il reste donc à étudier la forme où l'on factorise par la puissance la plus élevée, soit:

     (u+v)^{2m+1}=u^{m+1}.g_m(u,v)+v^{m+1}.g_m(v,u)
avec
    g_m(u,v)=\sum_{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}2m+1 \\ k\end{pmatrix} u^{m-k} v^{k}.

Exemple pour m=2, pour illustrer la différence de place des coefficients binomiaux
         _ forme "g":
               (u+v)^5=u^3 (u^2+5uv+10v^2)+v^3 (v^2+5uv+10u^2)
         _ formes "f":
               (u+v)^5=u (u^4+10u^2v^2+5v^4)+v (v^4+10u^2v^2+5u^4)
               (u+v)^5=u (u^2-10uv+5v^2)^2+v (v^2-10uv+5u^2)^2

Si pour les formes "f", on avait établi la belle coprimalité généralisée:
    \forall m, u \wedge 2v =1 \Rightarrow f_m(u,2v) \wedge f_m(2v,u)=1
    et même n=2m+1 \in \mathbb{P}, u \wedge f_m(u,2v)=1
    

Pour la forme "g", pas de généralité aussi évidente

Posté par
fabo34
re : PARTAGE DE PUISSANCE - 3ème FORMULE 25-08-22 à 17:20

En allant doucement, on voit déjà pour n=5

avec u \wedge  v=1, 2 \mid v et     g(u,v)=u²+5uv+10v^2

    3 \mid (u+v) \Rightarrow g(u,v) \wedge g(v,u)=3
     3 \nmid (u+v) \Rightarrow g(u,v) \wedge g(v,u)=1
    

Mais là je bloque déjà.  
Pour 3 \mid (u+v)J'arrive à 3 \mid g(u,v), 3 \mid g(v,u), mais pas le pgcd

... un peu d'aide?

Posté par
fabo34
re : Partage de puissance- 3e formule 27-08-22 à 16:02

Bon. Peut-être quelques exemples pour motiver les foules.

Déjà pour alléger, notons g=g(u,v), \tilde{g}=g(v,u)
On a donc:

     (u+v)^5=u^3 \times g  + v^3 \times \tilde{g}
     g=u^2 + 5uv + 10v^2
      u \wedge 2v=1, ~ 2 \mid v


_ Cas 3 \mid u+v : on a toujours  g \wedge \tilde{g}=3

   99^5=(29+70)^5= 29^3 \times 59991 + 70^3 \times 23460
       Soit g=3 \times 19997 ,  \tilde{g}=2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23



_ Cas 3 \nmid u+v :  on a toujours  g \wedge \tilde{g}=1

       _ avec  3  \mid u  : 77 ^5= 39^3 \times 23371 + 38^3 \times 24064
                                  soit g=23371, \tilde{g}=2^9 \times 47

      _ avec  3  \mid v  :  77 ^5= 41 ^3 \times 22021 + 36^3 \times 25486
                                  soit g=19^2 \times 61, \tilde{g}=2 \times 12743
  
      _ avec  3  \nmid uv  :  77 ^5= 43 ^3 \times 20719 + 34^3 \times 26956
                                   soit g=20719, \tilde{g}=2^2 \times 23 \times 293

Si quelqu'un arrive à montrer cela? Perso je bute

Posté par
ty59847
re : Partage de puissance- 3e formule 27-08-22 à 19:44

Pour intéresser les gens, il va falloir expliquer ce que tu fais. Apparemment, il y a l'explication dans une autre discussion, mais je n'ai pas l'intention d'aller chercher cette autre discussion.

Tu pars d'un entier (99 , 77 dans tes exemples)
On le décompose en somme u+v
Et on cherche g et g', tels que (u+v)5= u3g+v3g'
A priori, il y a plein de quadruplets (u,v,g,g') qui conviennent.
Tu ajoutes des conditions : g= u2+5uv+10v2
On peutêtre qu'en fait, ce n'est pas une condition supplémentaire, c'est qu'on constate qu'on a cette égalité ?

Et ensuite tu dis :
Il semblerait que g^g'=3 si l'entier de départ était un multiple de 3, et 1 sinon.
Et tu demandes de l'aide pour montrer ça.

Ai-je bien compris la question ... Peux-tu éclairer les points qui sont ambigus.

Posté par
fabo34
re : Partage de puissance- 3e formule 27-08-22 à 22:38

Bonjour ty59847.
Oui. C'est juste un regroupement en 2 formes symétriques du développement de Newton (u+v)^n, n impair, (u,v) copremiers et de parité différente. Je cherche des "lois" les plus générales possibles. Avec les 2 premières formes en f, c'était assez incroyable; il y avait coprimalité \forall n  entre f et \tilde{f}  .  Ici, avec cette 3eme forme, on n'a plus systématiquement g \wedge \tilde{g}=1 .  Oui, les formules pour g et \tilde{g} sont fixées par le binôme de Newton, et dépendent de la puissance n.

Or des simulations numériques font quand même apparaître quelques "bizarreries ", notamment ici pour n=5 (et n=7).
Il reste donc à le "prouver".

On part de (u,v)  copremiers et de parité différente.
On sait qu'on a (u+v)^5=u^3 . g + v^3\tilde{g}., avec g=u^2+5uv+10v^2 et \tilde{g}=v^2+5uv+10u^2.

Tu as bien compris ce qu'il faut prouver.
Si 3 \mid u+v, alors le PGCD de g et \tilde{g} vaut 3, sinon 1

Posté par
fabo34
re : Partage de puissance- 3e formule 30-08-22 à 15:18

Juste pour préciser. La coprimalité avec les fonctions f  venait de la somme des coefficients binomiaux suivante:

S_m}=\sum_{k=0}^m{\begin{pmatrix} 2m+1\\2k\end{pmatrix}}= \sum_{k=0}^m{\begin{pmatrix} 2m+1\\k\end{pmatrix}}=2^{2m}

Avec la technique de elhor_abdelali, on supposait f_m \wedge \tilde{f_m} \neq 1, et un diviseur premier commun p \neq 2, p \mid f_m, p \mid \tilde{f_m}.

Vu que (u-v)^{2m+1} = u. f_m(u,v)^2 - v. f_m(v,u)^2 alors u-v \equiv 0 [p], soit  u \equiv v [p]

Ensuite
f(u,v)=\sum_{k=0}^m{\begin{pmatrix} 2m+1\\2k\end{pmatrix}}u^{m-k}v^k \equiv u ^m .S_m \equiv u ^m .( 2^{2m}) \equiv 0 [p]

Donc u \equiv 0 [p]. Idem pour p \mid v.

Et ainsi u \wedge v \neq 1. CQFD


Ici, avec la forme g:
En appliquant la même technique:
     (u+v)^{2m+1} = u^{m+1}. g_m(u,v) + v^{m+1} .g_m(v,u)  donne l'opposé u \equiv -v [p]

Donc on tombe sur une somme alternée:

S'_m= \sum_{k=0}^m (-1)^k {\begin{pmatrix} 2m+1\\k\end{pmatrix}}

Et perte de "généralité".  Car ensuite rien ne va plus:

S'_2=2 \times 3 (ici pour notre cas (u+v)^5 ).
S_3'=-2^2 . 5, ~S'_4=2. 5. 7, ~S'_5 : -2^2 . 3^2 .7, ~S_6=2^3 . 3 . 7. 11, ~S'_7=2^3.3.11.13...

Que faire de ça? Ceci dit, on voit apparaître un "comportement" étrange: S_{2m+1} n'est jamais très loin de la primorielle P(2m-1). Mais je referai un post là dessus.


Retour à  notre "petit" cas m=2 ? Existerait-il donc une autre technique pour s'en sortir?

Posté par
fabo34
re : Partage de puissance- 3e formule 02-09-22 à 10:55
Posté par
malou Webmaster
re : Partage de puissance- 3e formule 02-09-22 à 13:18

Bonjour
Tout aurait dû être posté dans le même sujet

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



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