Est ce juste?

K = [0;1] qui est convexe

Int K =

Adh(Int K)=

Sauf erreur

A condition de se placer dans R^d avec d>1...

non non, l'int de [0,1] c'est ]0,1[

une hypothèse de plus : K est fermé

C'est toujours faux d'ailleurs dans le contre exemple de jeanseb K est fermé... Un contre exemple plus simple (quoique) prends juste un point comme ton ensemble K

aaah j'ai oublié de préciser que int K était non vide...
(ps: ce qu'a dit jean seb est faux)

au temps pour moi... mais maintenant tas une idée?

Ce qu'a dit jean seb n'est pas faux comme j'ai dit en dimension au moins 2

bah l'interieur du segment 0,1 c'est l'intervalle 0,1 ouvert

Pas dans R², le segment [0,1] ne contient aucun disque...

Ne vous disputez pas, je m'étais placé, sans le préciser j'avoue, dans IR².

Bonsoir ;
proposition 1:
On se place dans un -espace vectoriel normé et soit un convexe non vide de alors :
est un convexe (non vide) de .

preuve de la proposition 1:
soit , et ;
par hypothèse tels que et
en notant on a ,


proposition 2:
On se place dans un -espace vectoriel normé et soit un convexe d'intérieur non vide de alors :
est un convexe de .

preuve de la proposition 2:
soit et ,
il s'agit de prouver que c'est à dire que tel que (boule ouverte)

soit alors tel que et (boules ouvertes)
alors

proposition 3:
On se place dans un -espace vectoriel normé et soit un convexe d'intérieur non vide de alors :
est un convexe de .

preuve de la proposition 3:
Il suffit d'appliquer la preuve de la proposition 1 au convexe non vide _{(sauf erreur bien entendu)}

oui merci mais comment on démontre que si K est fermé, Adh(Int(K)= K ?

Autant pour moi !! il m'a semblé que la question était de prouver que est un convexe pour convexe d'intérieur non vide.

Ta question est plutôt :

Soit un convexe fermé d'intérieur non vide d'un evn montrer que .

est-ce bien ça ?

OK ! je crois que ça marche mais l'hypothèse est nécessaire pour conclure.

Comme est supposé fermé l'inclusion est acquise.

Soit alors , tel que et ,
je vais montrer l'existence d'une suite d'éléments de convergente vers _{(ce qui achèverait la preuve)} :

pour notons alors ,

_{(sauf erreur bien entendu)}