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partie dense

Posté par Profil Marxforito 24-02-20 à 22:19

Bonjour,

Si \int (w_1(x)-w_2(x))f(x)dx=0      \forall f \in D avec w_1,w_2 \in L_2(\Omega) et D=\{f \in C^\infty (\Omega) , f(x) \ne 0\}

et comme D est dense dans L^2(\Omega)

w_1=w_2

Je ne sais pas l'utilité de la densité ?

Merci pour vos retours

Posté par
verdurinre : partie dense 24-02-20 à 23:09

Bonsoir Marxforito.
Dans  D=\{f \in C^\infty (\Omega) , {\color{red}f(x) \ne 0}\} je ne comprends pas ce que veut dire ce que j'ai mis en rouge.

Posté par
Aalex00re : partie dense 24-02-20 à 23:14

Bonsoir Marxforito,

Tu trouveras une réponse ici ..
Pour ta dernière question, puisque l'ensemble D est dense et donc sous ensemble oui tu as f dans L2 (sauf erreur de ma part). Mais quelles hypothèses as tu sur \Omega ?

Posté par
XZ19re : partie dense 25-02-20 à 00:09

Bonjour
\Omega surement un ouvert de R^n

Là  tu es dans un espace de Hilbert H. Typiquement en posant w=w_1-w_2 , ton hypothèse dit  que w est orthogonal   à D sev dense de H. Donc w=0  (dans H).
L'explication est simple: Par densité, il existe une suite   f_n  de D qui converge vers w.  
Donc   (0=)<w,f_n>  converge vers  <w,w>(=0), i.e w=0  ici w_1=w2 p.p dans \Omega \\   


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