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Partie dense de R

Posté par
g0217d 24-10-20 à 17:42

Bonjour,
Je cherche à démontrer que si \theta est irrationnel, \mathbb{Z} + \theta \mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R}. Je sais que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} mais je n'ai pas trouvé comment m'en servir. Pourriez-vous m'aider SVP ?

Posté par
boninmire : Partie dense de R 24-10-20 à 17:53

Bonsoir,

Cette affirmation est fausse. Fais un dessin.

Posté par
boninmire : Partie dense de R 24-10-20 à 17:55

Ah, je me trompe peut-être.

Posté par
etniopalre : Partie dense de R 24-10-20 à 18:16

   Pour tout t réel , G(t) :=   + t. est un sous groupe   de   ( pour l'addition , bien sûr) .

Posté par
boninmire : Partie dense de R 24-10-20 à 18:18

etniopal @ 24-10-2020 à 18:16

   Pour tout t réel , G(t) :=   + t. est un sous groupe   de   ( pour l'addition , bien sûr) .

Oui, mais ensuite ?

Posté par
boninmire : Partie dense de R 24-10-20 à 18:19

Bonsoir,  etniopal

Posté par
etniopalre : Partie dense de R 24-10-20 à 18:26

Comment sont les  sous groupes \{R}  de  

Posté par
carpediemre : Partie dense de R 24-10-20 à 19:15

salut

n'y a-t-ilpas un théorème qui dit qu'il existe des entiers p et q <> 0 tel que |t - p/q| < 1/q^2 <=> |qt - p| < 1/q

donc tout voisinage de 0 rencontre Z + tZ ...

Posté par
g0217dre : Partie dense de R 25-10-20 à 10:05

Bonjour,
Merci beaucoup. Effectivement j'avais oublié la structure des groupes additifs de R.
Par contre, carpediem je ne crois pas avoir déjà vu ce théorème

carpediem @ 24-10-2020 à 19:15

salut

n'y a-t-ilpas un théorème qui dit qu'il existe des entiers p et q <> 0 tel que |t - p/q| < 1/q^2 <=> |qt - p| < 1/q

donc tout voisinage de 0 rencontre Z + tZ ...

Le seul résultat similaire que je connais est
\forall n \in \mathbb{N^*}, \exist (p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N^*}, \left| t - \dfrac{p}{q} \leq \dfrac{1}{n}\right| (densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}).
Bonne journée

Posté par
GBZMre : Partie dense de R 25-10-20 à 10:25

Bonjour,

Plus exactement, il y a un théorème qui dit que pour tout nombre irrationnel r il existe une suite de rationnels \dfrac{p_n}{q_n} avec q_n tendant vers l'infini telle que \left| r - \dfrac{p_n}{q_n}\right| <\dfrac1{q_n^2}.

C'est le développement en fraction continue de r.

Mais bien sûr pour l'exercice se résout facilement par l'étude des sous-groupes additifs de \mathbb R.

Posté par
g0217dre : Partie dense de R 25-10-20 à 17:27

Merci beaucoup. J'avais oublié ça effectivement.

Posté par
GBZMre : Partie dense de R 26-10-20 à 14:42

Avec plaisir.


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