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partie entière

Posté par
smir
21-01-23 à 11:51

Bonjour
Je voudrais savoir quelle est la bonne écriture
Entre E(x)>k ⇔ x ∈ [k;+∞[ et E(x)>k ⇔x ∈ ]k;+∞[
De même :
Entre  E(x)≥k ⇔ x ∈ [k;+∞[ et  E(x) ≥k ⇔ x ∈  ]k;+∞[

Posté par
Ulmiere
re : partie entière 21-01-23 à 12:02

Ni 'un ni l'autre, ce ne sont pas des équivalences !

Par exemple dans le premier cas, si x = 0.1, on a bien x\in[0,\infty) et x\in(0,\infty) et pourtant E(x) = 0 > 0 est faux.


Dans le second, tu peux éliminer la dernière équivalence parce que si x est entier et k = E(x) alros on a bien E(x)\geqslant k mais pas x > k.

Celle qui reste est une équivalence, parce que k\leqslant x implique bien k \leqslant E(x) (l'autre implication est triviale parce que E(x)\leqslant x).
C'est la définition de la partie entière. E(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Si k est un entier inférieur ou égal à x, alors il est par définition inférieur ou égal au plus grand entier inférieur ou égal à x, qu iest E(x).

Par contre, si k est un réel non forcément entier, il est évident que l'équivalence ne tient plus. Par exemple, -1.5 \geqslant -1.9 mais on n'a pas E(-1.5) \geqslant -1.9 puisque E(-1.5) = -2 < -1.9

Posté par
smir
re : partie entière 21-01-23 à 12:33

Bonjour,

Et pour les inéquations
E(x)>k  
la solution c'est l'intervalle [k;+∞[ ou  ]k;+∞[

E(x)≥k
la solution c'est l'intervalle [k+1;+∞[  OU ]k+1;+∞[
Exemple  E(x) ≥ - 4 et  E(x)>  - 4

Posté par
Ulmiere
re : partie entière 21-01-23 à 12:37

Ca dépend, comme je te l'ai dit, de si k est un entier.
Si c'est un entier, alors E(x) \geqslant k est équivalent à x\in [k,\infty) donc [k,\infty) est l'ensemble solution

Pour E(x)>k, cette inégalité entre entiers se récrit k+1\leqslant E(x), donc tu peux appliquer ce que tu viens de lire au paragraphe précédent avec k+1 à la place de k



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