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Partie relativement compacte
Bonjour,
On note muni de la norme infinie.
Soit F une partie de E telle que :
Je dois montrer que F est une partie relativement compacte.
Pour celà, je compte utiliser le Théorème d'Ascoli vu que [0,1] est compact et R est complet.
Je n'ai pas de problème à montrer que F est une partie équicontinue ( je montre que c'est un ensemble de fonctions lipschitziennes de rapport M ).
Je dois maintenant, pour pouvoir conclure, montrer que A= est une partie relativement compacte.
J'imagine qu'il va falloir que j'utilise le fait que est borné. Mais je vois pas par où commencer, quelles propriétés utiliser ,etc ...
Faut-il montrer que est compact ?
Merci d'avance 
Si je garde ma dernière idée, je pensais faire quelque chose du genre :
d'où
que l'on peut noter
Ainsi A est inclus dans [-C,C] donc est relativement compact.
Mais c'est faux je pense, autant dire dirctement que |f(x)| < Sup .
J'ai un peu de mal en fait à manipuler tous ces ensembles quand on parle de relativement compact, équicontinue etc ...
Bonjour Rouliane
Je dois peut-etre montrer que A est inclus dans un compact ?
A est un ensemble de réels donc montrer que A est relativement compact revient à montrer que A est borné.
par contre, dans ton dernier message, qu'appelle-tu
Kaiser
Salut kaiser,
Le epsilon vient de l'équicontinuité, mais je sais pas du tout s'il faut utiliser ça.
Pour montrer que A est borné, faut-il que je montre que |f(x)| < M ?
Le epsilon vient de l'équicontinuité, mais je sais pas du tout s'il faut utiliser ça.
dans ce cas, cette majoration sera vérifiée uniquement si x est proche de 0 et pas pour tout x de [0,1].
Kaiser
Je voudrais savoir une chose : comment as-tu montré que les éléments de F étaient des fonctions M-lipschitziennes ?
Kaiser
j'ai utilisé un argument qui était faux 
T'as bien fait de me le demander
Si je prends ça marche par contre pour l'équicontinuité, non ?
oui, ça marche !
si tu veux, tu peux même prendre pour n'avoir que du
(le +1, c'est au cas où M=0) !
Kaiser
Il suffit de montrer que ta famille est équicontinue et uniformément bornée.
1)
Soient epsilon positif, alors tu trouves très facilement eta tel que pour tout f dans F
|f(x)-f(y)| < eta, dès que |x-y|<epsilon, ceci à cause de la 2e propriété. (eta=racine de epsilon / M)
2)
Pour montrer qu'elle est uniformément bornée, il suffit de montrer qu'il existe M' tel que pour tout f de F,
||f(x)||<M'
Pour celà, remarque que l'ensemble des |f(0)| est borné par un certain nombre N (hypothèse 1).
Ainsi, l'ensemble des |f(x)| pour x variant dans K est lui aussi borné.
En effet:
|f(x)|=|f(x)-f(0)+f(0)| <= |f(x)-f(0)| + N
le terme |f(x)-f(0)| est plus petit que
Et x est plus petit que 1
Donc l'ensemble des |f(x)| est plus petit que M+N
Donc pour M'=M+N on a que pour toute fonction f de F
||f|| <= M'
CQFD
a+
Oups, tu as raison Kaiser, ce n'est pas une racine mais un carré.
Pour le M+1, tu as raison, mais si M=0, l'exercice est trivial
A+
Pour le M+1, tu as raison, mais si M=0, l'exercice est trivial
C'était juste pour le style !
Kaiser
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