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Parties convexes

Posté par
toureissa 04-11-18 à 10:43

Bonjour ,

J'aimerais savoir si mon raisonnement est correct.

Voici l'énoncé de l'exercice :

Soit C une partie convexe (d'intérieur non vide) d'un espace normé E.

1) Montrer que l'intérieur de C est un ensemble convexe.

2. Montrer que l'adhérence de C est un ensemble convexe.

1)  Soit C une partie convexe d'un espace E tq \dot{C} \neq \{\}.

\dot{C} représente l'adhérence de C.

Supposons que \dot{C} n'est pas convexe, alors \dot{C} admet une séparation (O,O') et ona donc :

\dot{C}\cap O \neq \{\} et \dot{C}\cap O' \neq \{\}.

Soit a\in \dot{C}\cap O   et  b \in \dot{C}\cap O' , on a:

]a,b[ n'est pas inclus dans  l'intérieur de C.

Comme a\in \dot{C} et b\in \dot {C}, alors (a,b)\in C×C, donc:

[a,b] est inclus dans C , puisque C est supposé convexe.

Ainsi :

[a,b] \subset C\Rightarrow \dot{[a,b]} \subset \dot{C}
\Rightarrow ]a,b[ \subset \dot{C} contradiction avec l'écriture en vert.

D'où \dot{C} est convexe.

2)  Supposons que C est convexe.

Montrons que \bar{C} est convexe, c'est-à-dire montrons que pour tout (a,b)\in \bar{C}^2, [a,b]\subset \bar{C}.

On peut écrire : [a,b]=\{(1-t)a+tb|t\in [0,1]\}.

Soit a et b deux éléments de \bar{C} alors il existe deux suite d'éléments de C (a_n)_n et (b_n)_n telles que :

a= \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n et b= \lim_{n\rightarrow +\infty}b_n

Pour tout t\in [0,1]

(1-t)a+tb= \lim_{n\rightarrow +\infty}((1-t)a_n+tb_n)

Pour tout entier naturel n:

(1-t)a_n+tb_n \in C, puisque C est convexe et  donc  ((1-t)a_n+tb_n)_n \in C^{\N}

D'où : (1-t)a+bt \in \bar{C}

C'est-à-dire [a,b] \subset \bar{C}, d'où \bar{C} est convexe.

Posté par
etniopalre : Parties convexes 04-11-18 à 11:09

J'ai l'impression que tu confonds convexe et connexe

Posté par
toureissare : Parties convexes 04-11-18 à 11:11

Oui je pense que c'est la même chose.
Maintenant dans mon cours j'ai la définition de la connexité.

Pouvez-vous me donner la définition de la convexité ?

Posté par
etniopalre : Parties convexes 04-11-18 à 11:17

Soient C un convexe non vide  , U son intérieur et F son adhérence .

   Tu peux commencer par montrer que si x     F et y   U , alors le segment semi ouvert ]x , y] est contenu dans U ( Utilise , pour chaque z  de U , l'homothétie h de sommet x  telle que h(y) = x )

Posté par
etniopalre : Parties convexes 04-11-18 à 11:20

NON ce n'est pas la même chose .
Les convexes sont connexes mais il y a des connexes qui ne sont pas convexes (ne serait-ce que E \ {0} si E est de dimension > 1 )

Posté par
toureissare : Parties convexes 04-11-18 à 15:16

Voici comment je l'ai montré:

Soit x\in F et y\in U

Ona ]x,y]=\{(1-t)x+ty| t\in ]0,1]\}.

Montrons que ]x,y]\subset U.

Soit   t\in ]0,1].  et posons

z=(1-t)x+ty \in ]x,y].

\epsilon>0, B(y,\epsilon)\subset U

Considérons l'homothétie h  de centre x qui transforme y en z:  

h(x,t): p \rightarrow x+(p-x)t,

le rapport de l'homothétie est donc t.

B(y,\epsilon) est transformé en B(z,t\epsilon).

Comme t\in ]0,1] l'homothétie envoie tout élément de U dans U , donc B(z,t\epsilon)\subset U, ainsi z\in U

D'où ]x,y] \subset U.

C'est bon ?

Posté par
carpediemre : Parties convexes 04-11-18 à 16:04

salut

franchement je ne comprends rien à ce que tu fais tellement c'est emberlificoté ...

C est convexe donc :

pour tout x et y dans C et pour tout t dans [0, 1] z = tx + (1 - t)y est dans C

(le segment I = [x, y] est dans C)

alors :

pour tout segment [x, y] dans C

pour tous u et v dans [x, y] et dans l'intérieur de C le segment [u, v] est dans [x, y] et dans l'intérieur de C

Posté par
toureissare : Parties convexes 04-11-18 à 16:30

Je pense avoit compris.

Autrement-dit un ensemble C est convexe s'il contient tout segment fabriqué a partir de deux de ses points ?

Posté par
Zrunre : Parties convexes 04-11-18 à 16:34

toureissa @ 04-11-2018 à 16:30

Je pense avoit compris.

Autrement-dit un ensemble C est convexe s'il contient tout segment fabriqué a partir de deux de ses points ?

Oui c'est la définition

Posté par
toureissare : Parties convexes 04-11-18 à 16:40

Maintenant si une  partie n'admet aucune séparation alors puis-je dire qu'elle contient tout segment  formé à partir de deux de ses points , puisqu'il n'y a pas de rupture dans l'ensemble ?

Posté par
toureissare : Parties convexes 04-11-18 à 16:42

J'aimerais vraiment savoir la différence entre convexité et connexité.

Posté par
carpediemre : Parties convexes 04-11-18 à 17:00

à quoi sert internet ?

Posté par
luzakre : Parties convexes 04-11-18 à 17:52

Bonjour !

Citation :
J'aimerais vraiment savoir la différence entre convexité et connexité.
Même pas besoin d'Internet, il suffit de lire la réponse donnée à 11:20 en plus de tes propres réponses (il y en a une où tu définis la connexité) et une autre où tu définis la convexité.

Posté par
toureissare : Parties convexes 05-11-18 à 21:49

J'ai vu la  différence entre les définitions .

•Une partie est connexe s'il n'admet aucune séparation.

•Une partie est convexe s'il contient tout segment formé à partir de deux de ses points.

vu la définition d'une partie convexe, elle n'admet aucune séparation, elle est donc connexe..

Maintenant je demande si je n'ai pas répondu à la deuxième question ?

Posté par
toureissare : Parties convexes 05-11-18 à 22:18

Je reprend la première question.

Soit C une partie convexe.

Montrons que  \dot{C} est convexe.

Pour cela j'ai choisi  a et b deux éléments quelconques de \dot{C} et le but c'est de montrer que [a,b]\subset \dot{C}

Tout point c du segment [a,b]  peut  s'écrire :

c=a+t(b-a) où t\in [0,1].

Cette expression de c montre que c est l'image de b  par l'homothétie h de centre a et de rapport t.

D'autre part comme b\in \dot{C}, et que \dot{C} est un ouvert alors il existe r>0 tel que :

B(b,r)\subset \dot{C}.

Mais comme le rapport de  l'homothétie t\in[0,1], elle transforme tout point de \dot{C} en un point de \dot{C}.

Donc la boule B(b,r) est transformé en la boule B(c,tr), ainsi:

B(c,tr)\subset \dot{C} et

finalement c\in \dot{C}.

c étant un élément quelconque  choisi dans [a,b],

d'où [a,b]\subset \dot{C}.

Posté par
luzakre : Parties convexes 05-11-18 à 23:31

Bonsoir !

Citation :

Mais comme le rapport de  l'homothétie t\in[0,1], elle transforme tout point de \dot{C} en un point de \dot{C}.

est faux dans le cas suivant :
C=\{0\}\cup]1,2[, h homothétie de centre 0, rapport 1/2 envoie \dfrac32 intérieur à C sur \dfrac34 qui n'est pas un point intérieur.

Il faut absolument exploiter la convexité de C ce que tu ne fais pas.

Tu dois démontrer qu'il existe une boule de centre c incluse dans C.
Ton approche géométrique est intéressante mais il faut la présenter correctement.

Je garde tes notations concernant r et B(b,r)\subset C puisque b intérieur à C.

Soit y\in B(c,rt),\;x=a+\dfrac1t(y-a).
Puisque b=a+\dfrac1t(c-a) tu auras x-b=\dfrac1t(y-c) donc x\in B(b,r)\subset C puis, par convexité, y\in C et tu as bien l'inclusion B(c,rt)\subset C soit c intérieur à C.


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