Bonjour Stan414;
Il y'a une petite ambiguité dans ta question:
Les éléments de la partition sont des cercles ou les disques fermés que ces cercles délimitent ?

Ah oui effectivement c'est ambigüe, les éléments de la partition sont bien des cercles et non pas les disques délimités par les cercles.

Raisonnons par l'absurde et soit l'un des cercles partitionnant le plan.
est sur un unique cercle (de la partition) qui ne rencontre pas ,
Donc est intérieur à et .
De même est sur un unique cercle (de la partition) qui ne rencontre pas ,
Donc est intérieur à et .
On construit ainsi une suite de cercles telle que est intérieur à et .
Si on note le disque fermé délimité par il est facile de voir que est une suite décroissante de compacts dont le diamètre tend vers et comme le plan est complet (puisque espace affine de dimension finie) on conclut que l'intersection est réduite à un point .
Finalement si est le cercle (de la partition) passant par (qui est intérieur à tous les ) on doit avoir d'où la contradiction (sauf erreurs bien entendu)

elhor_abdelali, j'ai l'impression que tu prétends qu'un cercle inclus dans un autre a un rayon plus petit que la moitié du rayon du grand cercle

aaahhh non désolé j'ai compris, tu ne prétends pas du tout cela, c'est parce que le petit cercle passe par le centre du grand

désolé...

OK stokastik , je me demande maintenant si une telle partition existe dans l'espace affine de dimension

Ce problème me dit quelque chose... je crois avoir entendu que ça existe (pas sûr)

Ah oui c'est génial ca ! Ca marche bien comme ca ! (ah la la c'est beau les maths...). Merci infiniment.